Верны варианты: под подпись, под расписку. См.: Подпись, роспись и виза.
Верны оба варианта. Подробно о склонении географических названий см. в «Письмовнике».
Читерство – мошенничество в сетевых играх. Подробно о читерстве см. в «%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%85%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%85" target=blank>Википедии».
Правильно: 1-м, 1-го, 1-му. См. Когда нужны буквенные наращения после цифр?
Да, эти топонимы склоняются. См. в «Письмовнике»: Как склонять географические названия?
Верно: вопреки ему.
См.: mestoimenie">http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=nmestoimenie
Правильно: из города Москвы. См. «горячий вопрос» номер три.
По правилам написание должно быть слитным (см. в ответе п. 2).
Фамилия должна склоняться. Правило см. в «Письмовнике» (пункт 13.1.11).
Слово медучреждение зафиксировано в академическом орфографическом словаре. См. ресурс «Проверка слова».