Правильно: чёрт-те где (аналогично: чёрт-те что, чёрт-те какой и т. д.).
Слова категории состояния – это слова, обозначающие состояние и выступающие в функции сказуемого в безличном предложении. Чтобы проверить, может ли слово относиться к категории состояния, необходимо составить с ним безличное предложение. Например, проверим слова весело, тоскливо, быстро: Мне весело; Мне тоскливо; Мне быстро. Последнее предложение невозможно. Значит, слова весело и тоскливо могут быть словами категории состояния, а быстро – нет.
Словари русского литературного языка такого слова не фиксируют. Корректным представляется слово робототерапия (по аналогии с робототехника, роботокомплекс).
Правильно: Речица, речицкое пиво.
Верно: библиотека Российской академии наук (о неавтономном учреждении) и Библиотека Российской академии наук (об автономном учреждении).
Пунктуация верна.
Это существительное мужского рода.
См. ответ № 201786.
Здесь лучше: представлен.
Если это первая часть сложного предложения, то верно: Кто бы ни бывал у нее на посылках...
