Обе глагольные формы корректны. Но необходимо отметить особенности употребления вариантов форм глагола прибегнуть и некоторых других глаголов, в частности воздвигнуть, иссякнуть, подвергнуть, свыкнуться. У глаголов этой группы формы прошедшего времени без суффикса -ну- получили большее распространение; ср. формы множественного числа: прибегли, воздвигли, иссякли, подвергли, свыклись. Процесс постепенной утраты суффикса -ну- в глагольных формах наблюдался на протяжении двух веков, при этом отдельные глаголы сохранили вариантные формы мужского рода, о чем свидетельствуют соответствующие грамматические пометы в словарях русского языка: прибег — прибегнул, воздвиг — воздвигнул, подверг — подвергнул. Однако в современной речи вариантность обсуждаемых глагольных форм представлена более широко, что можно видеть на примере глагола прибегнуть и что отражает описание в «Большом академическом словаре русского языка», издаваемом Институтом лингвистических исследований РАН.

Сокращение без точек эт/пом не нарушает правил написания графических сокращений. Об отсуствии точек см. полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» под. ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), § 210.

Да, дефис нужен. Подобные сочетания фиксируются орфографическим словарем. 

Об истории прилагательного несусветный рассказывает «Школьный этимологический словарь русского языка» Н. М. Шанского и Т. А. Бобровой: слово характеризуется как исконное, образованное с помощью приставки не- от прилагательного сусветный 'повсеместный, обычный, общепринятый', которое, в свою очередь, образовалось от существительного свет. Добавим к этому, что о слове сусветный можно прочитать в 42-м томе «Словаря русских народных говоров» (СПб., 2008). 

Между элементами друг и враг не просто соединительные, а соединительно-противительные отношения, едва ли позволяющие не ставить запятую: и друг, и (всё-таки) враг. Эти отношения отличаются от тех, которые наблюдаются в примерах сочетаний с тесными смысловым единством компонентов, приводимых, например, в параграфе 26 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.): Кругом было и светло и зелено (Т.); И днем и ночью кот ученый все ходит по цепи кругом (П.). Обратите внимание, что между подлежащим и сказуемыми-существительными предпочтительно тире: Я считаю, что интернет — и друг, и враг.

В общем случае тире не нужно. Тире требуется, если предложение находится в сопоставительных отношениях с другим, построенным по той же модели: Это — натюрморт, а это — пейзаж.

Корректно: Например, ребенок хочет всеми командовать и, когда нужно переключиться на другую роль, не может этого сделать. Союз и соединяет однородные составные сказуемые хочет командовать и не может сделать. С двух сторон выделяется придаточная часть когда нужно переключиться на другую роль.

Корректно: Они живут везде — и на суше, и в воде!

Как сказал герой — вводная конструкция, указывающая на источник сообщения. Вводные конструкции выделяются запятыми.

Ответы о раздельном написании были даны до фиксации в академическом орфографическом словаре, закрепленная словарем актуальная норма отражена в ресурсе «Проверка слова».