Это не синонимы. Значение каждого слова Вы можете узнать в словарях.
Это зависит от целей высказывания, а также от конкретных стилистических задач.
Пунктуация зависит от того, является ли наречие скромно пояснением.
Это пояснение, если перед скромно можно подставить то есть: по-девичьи, то есть скромно, пожала плечами. Кроме того, скромно должно выделяться соответствующей интонацией.
Если такой интонации и значения пояснения нет, то запятая не требуется. По-девичьи является обстоятельством образа действия, которое относится к обстоятельству скромно.
Возможные варианты указаны в словаре.
После слова сайт и перед названием этого сайта двоеточие не ставится.
Запятая перед что нужна.
Употребление предлога зависит от контекста.
Правильно: То, что вы обиделись на невинную шутку, – это нелепость.
Запятая не нужна: союз и соединяет однородные придаточные предложения.
Грамматических ошибок нет.
