Ошибки нет. Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под ред. С. А. Кузнецова, запрыгнуть – 'прыжком (прыжками) вскочить на что-либо, проникнуть куда-либо; заскочить'. Но такое употребление корректно только в разговорной речи, т. к. глагол запрыгнуть разговорный.

Дело в том, что оборот с союзом как в данном случае является частью сказуемого: сам по себе глагол поступали здесь не выражает законченного смысла.

Правильное написание: серебряный.

Правильно: картофель, жаренный с грибами; картофель жареный с грибами.

Знаки расставлены верно.

Правильно: нелеченый. Но предложение построено неудачно.

Использование что в значении 'который' вполне корректно, в том числе по отношению к названиям лиц. Сложно назвать такое употребление новым, ср., напр.: И та, что сегодня прощается с милым, — Пусть боль свою в силу она переплавит (А. Ахматова); «А подвела, — радостно объяснил ему парень, что стоял рядом, — не приехала» (Ю. Домбровский). Другое дело, что такое употребление более характерно для художественных текстов, чем для публицистических.

Поясняющее приложение одним из немногих разработчиков подобных систем должно быть выделено с двух сторон. Кроме того, для лучшего восприятия предложения желательно, если есть такая возможность, изменить порядок слов: Кстати, электронно-лучевая пушка произведена томской фирмой ТЭТА — одним из немногих разработчиков подобных систем — и отличается высокой надежностью.

Слово гражданка, безусловно, есть в русском языке. Однако, несмотря на свободное образование таких слов, как гражданка, студентка, учительница и т. д., они используются не во всех стилях речи. В строгой официально-деловой речи по отношению к лицам женского пола нередко используют слова мужского рода. Видимо, требование администрации связано с тем, что речь идет о базе данных, где всё должно быть четко, строго и единообразно.

Местоимения Вы, Ваш пишутся с прописной буквы как форма выражения вежливости при обращении к одному лицу. В текстах, размещенных на интернет-сайтах и адресованных широкому кругу лиц, вы, ваш пишутся строчными. Написание с прописной уместно при обращении к конкретному пользователю сайта (например, в закрытых разделах сайтов, которые подразумевают индивидуальное использование их каждым конкретным посетителем – регистрационная форма, личный кабинет пользователя и др.).