Верно: одна из старейших организаций, одна из самых старых организаций.
Запятая нужна: она разделяет главную и придаточную части сложноподчиненного предложения.
В этом случае запятая перед союзом как не нужна: оборот имеет значение образа действия (=«по-шерлок-холмсовски»).
Да, это сочетание допустимо. Ср.: Комиссар проверил время. Л. Кассиль, Кондуит и Швамбрания. По этим звонкам можно было проверять время. А. Чаковский, Блокада. Впрочем, есть еще возможность проверить время: ночью мы увидим Землю, которая делает оборот в двадцать четыре часа. К. Циолковский, На Луне.
Да, названия, выраженные прилагательными, склоняются в сочетании с родовым словом: в поселке Новосафоновском.
Единственно правильным является написание строчными буквами. См. словарную фиксацию.
Да, мужская фамилия Кот склоняется.
Эти слова пишутся слитно.
Правильно в именительном падеже: Чимароза. Эта фамилия склоняется: опера Чимарозы.
Такой перенос возможен.
