Правильно: участие (в чем) во внедрении системы наставничества в учреждении.
Вы написали верно. При употреблении отрицания расчленение сложного союза обязательно: И не потому, что еще молод, а по другой причине.
Корректно: Но в горах нужно быть начеку, ведь здесь явно работают другие законы.
Правильно: в офлайн- и онлайн-пространстве.
Корректно: ...на срок, указанный в договоре, но превышающий срок или не превышающий срок...
Да, предпочтительно использовать кавычки: Дважды ответили «да», но не знаете, с чего начать?
Запятая перед союзом и в данном предложении не нужна, так как он соединяет два однородных сказуемых — является актуальным и не менялся.
Корректно слитное написание: Планирование не только неудобно, но и мешает воплощению идей.
Корректно: Бульба проявляет не только гордость и бесстрашие, но и силу воли и преданность интересам казачества.
Да, фраза основные принципы шахмат корректна.
