В этих случаях несклоняемость названия допустима и не является нарушением правил. Еще в 1980 году академическая «Русская граммматика» указывала: «Несклоняемость географических наименований нормальна в следующих случаях. <...>  2) Если населенный пункт назван собственным именем известного лица: около Репино (назв. поселка под Ленинградом), недалеко от Лермонтово (назв. небольшого города около Пензы)».

Определить поможем, а письменный анализ – это уже Ваше задание. В этом предложении ошибка в употреблении деепричастного оборота: деепричастие должно указывать на действие того предмета (лица), который назван подлежащим, причем этот предмет (лицо) должен быть субъектом двух действий — названного в сказуемом и в деепричастии. Если эти требования не соблюдаются, получаются неправильные предложения.

Это вопрос делопроизводства, он не связан с русским языком. Тем не менее постараемся ответить. Типовая инструкция по делопроизводству в федеральных органах исполнительной власти указывает: оттиск печати должен захватывать окончание наименования должности лица, подписавшего документ. Речь идет о печати федерального органа исполнительной власти, но, думаем, это положение применимо ко всем организациям.

Корректно слитное написание: Пролапс митрального клапана гемодинамически незначимый. Слова на -мый являются причастиями и пишутся раздельно с не- при наличии зависимого слова – существительного в творительном падеже со значением действующего лица или орудия действия: не применяемые учреждением. Ср.: неприменяемые в учреждении (слитное написание, т. к. зависимое слово не в творительном падеже).

Поскольку речь идет о вымышленных государствах, о мирах, созданных воображением писателя, окончательное решение об орфографическом оформлении таких названий следует оставить за автором текста. В его представлении это «официальные» названия государств или образные (ср.: Страна утренней свежести, Страна кленового листа)? От ответа на этот вопрос будет зависеть написание названия.

Прямая речь характеризуется тем, что вводится в текст словами автора и воспроизводит высказывание (или мысль) от того лица, которому она принадлежит, с сохранением лексико-фразеологических, грамматических и других особенностей. Дословное воспроизведение чьей-то письменной реплики тоже является прямой речью и оформляется по тем же правилам, что и дословное воспроизведение чьего-то устного высказывания.

В данном случае правильно будет сказать «одна из жительниц дома».

Сказуемое может стоять как в форме единственного, так и в форме множественного числа. Соответствующее правило Вы можете найти в "Справочнике по правописанию и литературной правке" Д. Э. Розенталя.

Форма мужского рода (управляющий) по отношению к женщине используется в тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности безотносительно к полу лица (обычно в строгой официально-деловой речи). В обиходной письменной и тем более устной речи следует использовать форму женского рода. В тексте распоряжения, полагаем, будет уместна форма мужского рода.