Правильно строчными: интернет-публикации. Раньше было четкое разделение: Интернет при самостоятельном употреблении – с прописной (доступ к Интернету), интернет- как первая часть сложных слов – со строчной (интернет-сайт). Сейчас и при самостоятельном употреблении возможно написание интернет со строчной: доступ к Интернету и доступ к интернету. Как первая часть сложных слов интернет- по-прежнему пишется только со строчной.

Правильно раздельное написание: Спас на Крови. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012. Служебные слова выделяются двумя дефисами в середине составных географических названий: Ростов-на-Дону, Комсомольск-на-Амуре. В названиях храмов дефисы не пишутся, ср.: Спас на Бору, церковь Покрова на Нерли.

Написание географических названий в разных языках часто определяется традицией (существующей для данного языка) и вполне может не соответствовать написанию и/или произношению, принятому в той стране, где находится данный географический объект. Это нормально, так бывает во всех языках. По-русски название этого грузинского города принято писать Сигнахи, такой вариант фиксируют словари русского языка.

В уменьшительных формах имен используется суффикс -ечк-, а не -ичк-. Правильно: Венечка (от имени Вениамин).  Но при этом написание имен с суффиксом -ичк- широко распространено, главным образом в частной переписке. Так, герой поэмы "Москва - Петушки" В. Ерофеева - Веничка. Имя Эдичка  (от Эдуард, Эдвард) пишется через И под влиянием промежуточной формы – Эдик.

Написание каждого слова в названии организации с прописной буквы противоречит орфографической норме русского языка. Если в таком виде название уже зафиксировано в уставных документах организации, то в деловой документации, связанной с  деятельностью компании, такого написания приходится придерживаться. Однако в прочих текстах (например, в газетной статье, посвященной деятельности организации) следует руководствоваться правилами правописания.

Нет, длительно не является наречием меры и степени — оно обозначает продолжительность действия и в предложении является обстоятельством времени. Поэтому верно раздельное написание: Это состояние может развиться у людей преклонного возраста с длительно не леченным гипотериозом. Обратите внимание: в слове ле́ченный ударение падает на первый слог и не пишется буква ё. 

Судя по нашим наблюдениям, специалисты пишут чаще раздельно: двусторонне ретушированный (см., например, статью в Большой российской энциклопедии «Средневолжская культура»). Ср. аналогично двусторонне обработанные наконечники, орудия; двусторонне оббитые топоры. Слитное написание можно обосновать тем, что данное сочетание терминологизируется. Однако пока терминологизация не завершена, и можно рекомендовать придерживаться раздельного написания, которое, безусловно, легче для восприятия. 

Да, и такие словосочетания, как рассеянный по утрам человек, рассеянный из-за волнения человек, рассеянный по отношению ко всему окружающему, показывают, что у отглагольных прилагательных могут быть самые разные зависимые слова. Примите во внимание то, что в орфографических правилах не описываются все грамматические свойства слов, а только те, какие помогают определить верное написание.