Запятая не ставится внутри выражений типа есть чем заняться, есть над чем поработать, было о чём подумать, найду куда обратиться, не нахожу что сказать, осталось на что жить, состоящих из глагола быть или найти (найтись), остаться и вопросительно-относительного местоимения или наречия (кто, что, где, куда, когда и т. д.) и неопределенной формы другого глагола.
Да, это сочетание допустимо. Ср.: Комиссар проверил время. Л. Кассиль, Кондуит и Швамбрания. По этим звонкам можно было проверять время. А. Чаковский, Блокада. Впрочем, есть еще возможность проверить время: ночью мы увидим Землю, которая делает оборот в двадцать четыре часа. К. Циолковский, На Луне.
Да, названия, выраженные прилагательными, склоняются в сочетании с родовым словом: в поселке Новосафоновском.
Запятая нужна.
Возможно так: Юная девушка, Ольга Мещерская нуждалась в любви (=нуждалась в любви, поскольку была юной девушкой).
Кавычки уместны.
Верно: В Мценск.
Пунктуация зависит от контекста. В целом двоеточие здесь уместно.
Запятая факультативна.
