Устойчивое сочетание: чуть свет. Оно может употребляться с разными глаголами: встать чуть свет, пойти куда-то чуть свет, позвонить кому-то чуть свет и т. д.

Возможны оба варианта: с запятой и без. Если подчеркивается сравнение, нужна запятая; если сочетание как один миг рассматривать как устойчивое, запятую можно не ставить.

В доступных нам источниках это выражение не зафиксировано. Вы уверены, что это именно поговорка (т. е. устойчивое выражение, воспроизводимое в речи), а не индивидуально-авторская метафора?

Устойчивое выражение вносить изменения не сочетается с существительными, обозначающими предмет, типа машина. Можно вносить изменения в проект, в дизайн машины, но не в саму машину.

Форин Офис - это неофициальное название Министерства иностранных дел Великобритании.

«Сделаем поверку сему исчислению», — находим у А. Н. Радищева. В романе И. А. Гончарова «Обломов» читаем: «Она поглядела на него молча, как будто поверяла слова его, сравнила с тем, что у него написано на лице, и улыбнулась: поверка оказалась удовлетворительною». А что вышло на поверку? — можно вспомнить и это выражение. Слова поверить, поверка известны давно, но в современной речи чаще всего употребляются в качестве технических терминов. Едва ли стоит устанавливать запреты на использование этих слов, только следует принять во внимание, что отнюдь не всегда они могут быть знакомы собеседникам.

В предложении Стороны остаются каждая при своем мнении сказуемое остаются при своем мнении. В нем остаются — полузнаменательная связка, при своем мнении — устойчивое словосочетание, именная часть сказуемого. 

Знакомство с человеком, конечно, не может быть вторым, тем не менее в русском языке существует устойчивое сочетание с первого знакомства, зафиксированное словарями русского языка. Так что такое употребление допустимо.

Грамматического запрета на единственное число слова ожидание при глаголе оправдать нет, и единичные примеры такого употребления в литературе встречаются. Однако привычнее устойчивое сочетание с формой множественного числа: оправдать ожидания.