Правило не категорично, оно гласит, что при существительных женского рода, зависящих от числительного два, определение чаще ставится в форме именительного падежа (или совпадающего с ним винительного при неодушевленных существительных) множественного числа. Сочетания с родительным падежом редко, но встречаются, ошибкой использование такой формы не будет. Но предпочтителен все-таки вариант В коробке было 6 красных ручек и 2 синие.

Да, определения разделяются запятыми, если второе из них поясняет первое. После второго определения запятая не ставится: в пятом, финальном сезоне шоу; в третьем, окончательном чтении.

Мы не выполняем домашние задания.

Запись корректна.

Возможны варианты в зависимости от смысла: ягоды дроблёные с сахаром (здесь дроблёные – прилагательное: сахар добавили к дроблёным ягодам; к процессу дробления сахар не имеет отношения) и ягоды, дроблённые с сахаром (здесь дроблённые – причастие: ягоды дробили вместе с сахаром).

О словах тоже и также обычно пишут как о сочинительных соединительных союзах. Так обычно и в школьных учебниках. И если отталкиваться от этих представлений, то перед нами два сложносочиненных предложения.

Однако у этих слов есть важная особенность: в строго нормативной речи им запрещена позиция между связываемыми частями сложного предложения. Между тем прототипические сочинительные соединительные (и не только) союзы обязаны занимать именно такую позицию: предложение *Взошло солнце, повсюду запели и птицы любой носитель русского языка оценит как аномальное. Если учитывать эту особенность, слова тоже и также можно квалифицировать как функциональные аналоги союзов (именно так сделано в академической «Русской грамматике»). Это означает, что они уже прошли бо́льшую часть пути от местоимений с частицами к союзам, но до конца этого пути им еще далеко.

Однако и при такой квалификации этих слов предложения остаются сложносочиненными: отличие от классических сложносочиненных только в том, каким средством оформляется сочинительная связь.

В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова, а также в «Словаре морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой в слове закладка выделен корень -клад- (за-клад-к-а). Это результат анализа морфемного состава слова (разбор слова по составу в школьной терминологии).

Также это слово фиксируется в словообразовательных словарях разного объема, включая большой двухтомный «Словообразовательный словарь русского языка» А. Н. Тихонова. Этот словарь отражает не полный морфемный состав слов, а только их словообразовательные связи и словообразовательные средства, использованные при образовании каждого производного слова; в заголовке (вершине) словарной статьи словообразовательного словаря находится непроизводное слово, далее указываются словообразовательные цепочки, демонстрирующие образование всех слов, входящих в словообразовательное гнездо. В «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова показано, что слово закладка образовано с помощью следующей словообразовательной цепочки: класть → за-класть (приставочный способ) → заклад-ыва-ть (суффиксальный способ) → заклад (бессуфиксный способ) → заклад-к-а (суффиксальный способ). В каждом производном слове, входящем в словообразовательное гнездо, выделяются морфемы, с помощью которых оно образовано; полное морфемное членение слов отсутствует. Например, в глаголе закладывать указаны только границы суффикса -ыва-, а граница между приставкой и корнем ― нет. По этой же причине не указана морфемная граница между приставкой за- и корнем -клад- в словах заклад и закладка, хотя эта граница есть.

Возможно, в задании было предложено выполнить словообразовательный, а не морфемный разбор слова закладка. При словообразовательном разборе необходимо установить, от какой производящей основы и с помощью какого словообразовательного средства образовано данное производное слово; полное членение производящей основы на морфемы не производится. В таком случае заклад — это производящая основа, производная — заклад-к-, словообразовательное средство — суффикс -к-(заклад → заклад-к-а). 

Для правильного морфемного и словообразовательного разбора слов надо знать принципы этих типов анализа (разделы «Морфемика» и «Словообразование» в школьной программе). Для проверки следует использовать морфемные и словообразовательные словари. Чтобы понимать, каким образом информация о структуре слова представлена в том или ином словаре, перед использованием словаря необходимо внимательно ознакомиться с теоретическими принципами строения словаря и особенностями структуры словарных статей. 

Причастие брошенный образовано от глагола совершенного вида бросить. От глагола несовершенного вида бросать теоретически возможно не употребимое в речи причастие *бросаный; сравним приставочные образования совершенного вида: набросать — набросанный (например: набросанные в корзину шишки). 

Правильно: южный полюс Луны. Дело в том, что на Земле полюса обрели названия — Южный и Северный. Названия пишутся с заглавной буквы, такое написание устойчиво и закреплено в правилах и словарях. В астрономии земные названия стали употребляться по отношению к другим крупным космическим телам — планетам и спутникам. При обозначении множества однородных объектов названия терминологизировались, что отразилось на их написании. Приведем несколько примеров:

У верхнего края снимка в середине виден кратер Пири диаметром 73 км, внутри которого расположен северный полюс Луны (Путешествие к Луне. Ред.-сост. В. Г. Сурдин. М., 2011).

Приборы аппарата обнаружили неподалеку от южного полюса Марса залежи замороженного CO₂ объемом около 12 тысяч кубических километров (Знание — сила. 2011 // Национальный корпус русского языка).

Спустя 9 минут разгонный блок «Фрегат» со станцией «Луна-25» отделился от третьей ступени ракеты и вышел на околоземную орбиту. Через несколько дней должна произойти мягкая посадка в районе южного полюса Луны (Телеграм-канал Московского планетария. Сообщение от 11.08.2023).