Верно:
1. После того как он попросил прощения, всё стало налаживаться.
2. История эта началась после того, как в село приехал новый учитель.
Подробно о пунктуации в конструкциях с составными подчинительными союзами читайте в "Справочнике по пунктуации".
В данном случае слова как еврей используются в значении будучи евреем. Подобные приложения с союзом как выделяются запятыми.
Пунктуация в обоих предложениях правильна.
Слова перекрасачки не существует. Однако предложенной формуле соответствует вполне реальное слово перекраски.
гостинец-ø (корень и нулевой суффикс, в современном языке непроизводное слово);
лень-ø → лен-ив-ый → лен-ив-ец-ø (корень, два суффикса, нулевое окончание);
мести (производящая основа от формы мет-ёт) → мет-ель-ø (корень, суффикс, нулевое окончание).
Слово гостинец при морфемном разборе в старших классах может рассматриваться как слово с более сложной морфемной структурой.
Мы с другом пошли в кино.
Познакомиться со способами выражения членов предложения можно c помощью пособия Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников» на сайте gramota.ru.
О способах выражения главных членов предложения: https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/russkij-yazyk-kratkij-teoreticheskij-kurs-dlya-shkolnikov/prostoe-predlozhenie
О способах выражения второстепенных членов предложения:
Правильно: поехали в Дубай.
Оба варианта возможны. О факторах, влияющих на выбор формы сказуемого, см. в «Письмовнике».
Лучше: дере-вьями или деревья-ми.
Правильно: Как месяц ни свети, а всё не солнышко.
Слова ученый совет пишутся строчными.
