Употребляются варианты Гагра и Гагры (второй вариант отражен в названии известного фильма «Зимний вечер в Гаграх»). Но словарями русского языка зафиксировано: Гагра, такое же название употребляется в картографических изданиях Росреестра. Это склоняемое существительное: поехать в Гагру, отдыхать в Гагре, сказочная Гагра.
Лучше (для падежного разграничения): завоевал две золотых медали.
Для художественной книги подходят оба варианта, предпочтительного нет.
Верно: ...для чего бы он тебе ни понадобился.
Правильно здесь ни.
Запятая не нужна.
Корректен первый вариант. Подробнее о склонении фамилий см. в «Письмовнике».
Необходимо отделить от определяемого слова причастный оборот предоставленную руководителем.
Точка не нужна. Точка после кавычек не ставится, если перед закрывающими кавычками стоит многоточие, вопросительный или восклицательный знак, а заключенная в кавычки цитата (или прямая речь) является самостоятельным предложением.
Ошибок нет.
