Грамматической норме соответствует именно форма в лесу. Ударное окончание -у́, -ю́ принимает свыше ста современных существительных мужского рода 2-го склонения при сочетании с предлогами в и на. Чаще всего такие формы используются при обозначении места: думаю о саде, но гуляю в саду. Это окончание очень старое: оно восходит к одному из древнерусских типов склонения, в целостном виде утраченному. Очень широко такое окончание было распространено в русском языке XV–XVI веков: в песку, в списку, в грабежу, на острову и мн. др. Формы на -у могли тогда употребляться и при сочетании с предлогом о: о звону, о броду, о корму и др. Впоследствии круг существительных, способных принимать окончание -у, -ю в предложном падеже, стал сужаться, но до сих пор он охватывает некоторое число частотных слов мужского рода. См. также ответы на вопросы № 203694 и 325842.

Название подмосковного города Рошаль мужского рода. Верно: в Рошале.

Верен второй вариант. Первый вариант возможен при передаче на письме разговорной речи.

В разы – просторечное выражение.

Эти названия склоняются. Мумбай и Дубай изменяются по падежам так же, как, например, слово сарай. Правильно в предложном падеже: в  Мумбае, в Дубае.

Мужская фамилия Полей склоняется, женская нет. А где в паспорте может быть написано выдан + фамилия в косвенном падеже? В паспорте фамилия пишется в именительном падеже.

К сожалению, у нас нет возможности обратиться к диалектологической словарной базе.

Разделяем Ваши чувства. Но ориентироваться следует на нормативные словари и справочники. 

Корректно со строчной буквы. Что касается буквы ё, то согласно действующим правилам орфографии в текстах обычного характера она употребляется выборочно. Рекомендуется употреблять ее в  собственных именах – фамилиях, географических названиях, напр.: Конёнков, Неёлова, Катрин Денёв, Шрёдингер, Дежнёв, Кошелёв, Чебышёв, Вёшенская, Олёкма. Ваш случай относится именно к таким: рекомендуется, но не является обязательным.