Правильно: к Татьянину дню (о празднике 25 января), но к Татьяниному дню рождения.

Притяжательные прилагательные на -ин, -нин в современном русском языке склоняются по так называемому местоименному склонению (его первой разновидности), т. е. как местоимение мой: моего – Татьяниного, моему – Татьяниному и т. д. Однако за прилагательными, входящими в состав географических названий, наименований местностей, названий растений и цветов, а также за прилагательными, входящими в состав устойчивых сочетаний, закрепилось притяжательное склонение. В форме род. падежа оно имеет окончание -а (отцова сапога, тришкина кафтана, Татьянина дня) и в дат. падеже – окончание -у (отцову сапогу, тришкину кафтану, Татьянину дню).

Отрицание не пишется раздельно с наречиями (кроме образованных от имен прилагательных с помощью суффикса -о), а также с неизменяемыми словами, употребляющимися в роли сказуемого, например: не вблизи, не вовремя, не вполне, не вправе, не впрок, не всерьёз, не вскользь, не вчера, не досыта, не завтра, не зря, не иначе, не навек, не навсегда, не нарочно, не очень, не позади, не полностью, не сегодня, не слишком, не сверху, не сразу; не жаль, не замужем, не зазорно, не надо. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 146.

Да, ударение в этом слове падает на ы.  Сослаться можно на любой нормативный словарь, в котором это слово зафиксировано. Например, на «Словарь ударений русского языка» И. Л. Резниченко (М., 2015) или на «Орфоэпический словарь русского языка» под редакцией Н. А. Еськовой (М., 2015). Если же и эти ссылки не убедят Ваших оппонентов (скажут, например: «Чего только в современных словарях не напишут!»), можете сослаться на словарь-справочник «Русское литературное произношение и ударение» под ред. Р. И. Аванесова и С. И. Ожегова (М., 1959), где тоже указано, что правильно только с ударением на ы.

Правильно: Её мысли были крайне путаны. Её мысли всегда путаны.

Правило таково. Краткие формы прилагательных с качественным значением, полные формы которых передаются на письме с одним н, пишутся так же, как полные. Примеры: делана, делано, деланы (от деланый 'неестественный, принуждённый'); путана, путано, путаны (от путаный 'нелогичный, сбивающий с толку'); учёна, учёно, учёны (от учёный 'основательно знающий что-либо'). Так же пишутся формы сравнительной степени (деланее, путанее, учёнее) и наречия на -о (делано, путано). См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / под ред. В. В. Лопатина. М., 2016. § 104.

Эти слова, безусловно, этимологически родственные, они восходят к одному и тому же корню (точнее – к старому глаголу прияти 'любить, благожелательно относиться'). Но в современном русском языке (именно на синхронном уровне) они уже не однокоренные, в них не выделяется приставка не, ведь слова приять и приязнь устаревшие, а значение слова неприятель не может быть объяснено через значение слова приятель (приятель – это близкий знакомый, а неприятель – это военный противник, враг, а не «человек, не являющийся близким знакомым»).  В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова в слове неприятель выделен корень неприятель-, а в слове неприязнь – корень неприязнь-.

Словарная рекомендация: опытные докторА.

Орфографический словарь

Большой толковый словарь

Русское словесное ударение

Слова грамота и грамматика пишутся по-разному, потому что пришли в русский язык в разное время и разными путями. Грамота – это очень старое заимствование из греческого языка. В греческом было слово gramma, означавшее «письменный знак», «буква». У этого слова была форма множественного числа grammata – то есть «буквы», «письмо». Вот это форма и стала нашей грамотой: мы немного изменили греческое слово на свой лад. А слово грамматика пришло к нам намного позже, в XVIII веке, из латинского языка. Оно тоже, конечно же, восходит к греческим словам grammata, grammatike, но в латинском языке сохранились две буквы «м».

В современном русском языке хорошо ощущается историческая связь глагола прекословить и существительного слово. Первый корень, его значение не так очевидны. О родственных словах сообщают этимологические словари, это слова: поперек, поперечина, вопреки, перечить. Смысловая и структурная связь между прекословить и перечить не ощущается носителями языка. Это дает основание не считать эти слова однокоренными, не объединять их в одно словообразовательное гнездо, в глаголе прекословить выделять корень прекослов-. Однако при более этимологическом подходе к структуре слова, который принят, например, в орфографии, в глаголе прекословить выделяют два корня. Это позволяет объяснить написание глагола.

За тридевять земель – очень далеко. Этот фразеологизм фольклорного происхождения. Слово тридевять представляет собой сложение двух числительных: три и девять. Оно восходит к тому времени, когда на Руси наряду с десятеричной системой исчисления существовала и девятеричная (в этой системе тридевять обозначало 27).

Выражение за тридевять земель обычно для русских сказок в форме троекратного повтора: за тридевять земель, в тридевятом царстве, в тридесятом государстве. В сказках это выражение отдаляется от точного числительного и означает просто «очень далеко». Это современное употребление и значение сложилось не сразу, а примерно на рубеже XVIII и XIX вв.

История слова юбилей очень интересна. В русский язык это слово пришло из западноевропейских языков (немецкого или французского), где оно восходит к латинскому jubilaeus annus 'юбилейный год'. Первоначально это относилось к древнееврейскому народному обычаю отмечать конец каждого пятидесятилетия празднеством в память выхода евреев из Египта. Латинское jubilaeus происходит от древнееврейского jobel 'баран' > 'бараний рог; торжественный звук, издаваемый таким рогом, трубой': упомянутое празднество начиналось «трубным гласом». Ученые полагают, что латинское jubilaeus возникло не без влияния латинского же глагола jubilо 'издаю громкие крики, ликую', который в этимологическом отношении не имеет ничего общего с древнееврейским словом.