Возможны оба варианта.
Названия месяцев могут писаться с большой буквы в начале предложения или, например, если выступают в роли условных наименований: ТЦ "Июнь".
Это отглагольное существительное, образованное по регулярной словообразовательной модели; его лексическое значение совпадает со значением соответствующего глагола. Следовательно, необходимости в словарной фиксации нет.
Может быть, по отношению к девушке?
Да, склоняется.
ПИРАНЕЗИ Джованни Баттиста, Пиранези Джованни Баттисты [нэ] (итал. гравёр)
При подлежащих, указывающих на неопределенное множество, глагол, как правило, ставится в форму ед. числа. Ср.: В МГУ работает свыше пяти тысяч преподавателей.
Это название не склоняется: живу в Катовице.
Верно: действующего.
Для обозначения веков обычно используются римские цифры: в XIII веке. При написании арабскими цифрами нужно наращение: в 13-м веке, в 13-м.
Предпочтительно слитное написание: ты в корне неправ.
