Слово конвоир образовано от существительного конвой с помощью суффикса -ир, окончание нулевое: конво-ир-Ø. По этой словообразовательной модели образуются названия лиц по отношению к предмету, учреждению, группировке или по характерному занятию, названному производящим словом.

Суффикс-ир имеет варианты -ер/-онер/-[je]p: бригад-ир ← бригад-а; легион-ер ← легион; милици-онер ← милици[j-а]; гондо[л’-j]ер ← гондол-а.

При образовании слова конвоир в корне происходит чередование й с нулем звука: конвой → конво-ир (ср.: милици[j-а] → милици-онер).

Слово конструкция — это отглагольное существительное, которое совмещает в своем значении присущее глаголу значение действия со значением существительного как части речи. Производящий глагол — конструировать (производящая основа — конструирова-), словообразовательный суффикс — -ци[j], окончание — [а]: консткук- ци[j-а].

Суффикс -ци[j] имеет варианты: -аци[j]- / -ици[j]- / -енци[j]- /-и[j]; в орфографической записи это слова на -иция, -ация, -яция, -енция, -ия- (репет-иция ← репет-ировать; деград-ация ← деград-ировать; компил-яция ← компил-ировать; конкур-енция ← конкур-ировать; амнистия ← амнист-ировать). Во всех случаях в процессе словообразования происходит усечение основы производящего глагола: репетирова-ть, деградирова-ть, компилирова-ть, конкурирова-ть, амнистирова-ть и т. п. Образование слова конструкция имеет редкую особенность: происходит не только усечение производящей основы (конструирова-ть), но и наращение в производной: усеченная основа констру- превращается в конструк-. Большинство грамматистов рассматривают  конструк- как вариант корня (констру-/конструк-), хотя можно считать элемент -к- интерфиксом (асемантической вкладкой). При любом подходе элемент -к- не является самостоятельной морфемой.

Школьное правило гласит: «Под ударением пишется плав- (плавать). Без ударения тоже плав- (плавник, плавун ‘водяной опоссум’). Исключения в безударной позиции: пловец, пловчиха».

Однако список алломорфов для этого корня, который обычно упоминается в разных пособиях и справочниках, выглядит так: плав- (плавать, плавник, плавун) // плов- (пловец, пловчиха) // плыв- (заплывать, плывун ‘насыщенный водой грунт’) // плы- (плыть, заплыть). В этом списке не вызывает вопросов только алломорф плы-, который присутствует в непроизводном глаголе плыть.

Наличие чередований гласных в корне очевидно, а вот элемент -в- трактуется по-разному. Во-первых, можно считать, что -в- всегда входит в корень, что находит отражение во многих традиционных орфографических описаниях. 

Тем не менее это достаточно спорно, потому что в однокоренных словах и формах слов с этим корнем отражаются разные слово- и формообразовательные явления. Во-первых, этот согласный появляется в основе настоящего/будущего времени при спряжении (плыву, плывешь, …; заплыву, заплывешь, …). Так же ведут себя глаголы плыть, слыть (и образованные от них производные приставочные), которые входят в один словоизменительный класс с глаголом плыть. В данном случае -в- представляет собой формообразующий суффикс основы настоящего/будущего времени; ср.: чита[j-ут], где [-j-] — суффикс основы настоящего/будущего времени.

Во-вторых, во всех глаголах несовершенного вида, образованных от приставочных глаголов совершенного вида, -в- входит в суффикс (видообразующий, иначе говоря — словообразующий, так как большинство лингвистов рассматривает видообразование как словообразовательный процесс). Это суффикс несовершенного вида с алломорфами -ива- (-ыва-)/-ва-/-а- (-я-): отколоть → откалывать; раздуть → раздувать; помочь → помогать и т.д. Соответственно: заплыть → заплы-ва-ть; пререплыть → пререплы-ва-ть и т.д.

Почему именно алломорф -ва-? Может быть, -а-? И тогда в входит в корень. Или -ыва-, а в корне остается пл-?

Нет, потому что в производных приставочных глаголах с алломорфами -ива- и -а- при словообразовании происходит усечение производящей основы: обменять → обмен-ива-ть, убедить → убежд-а-ть. А в глаголах с алломорфом -ва- сохраняются конечные гласные производящей основы: заплыть → заплы-ва-ть и т. п.

Этот же суффикс присутствует в производном глаголе несовершенного вида пла-ва-ть (обозначает неоднонаправленное движение, образован от глагола несовершенного вида плыть, обозначающего однонаправленное движение)

Итак, вроде бы очевидно, что -в- в глаголах с суффиксом -ва- не входит в корень, в них представлены алломорфы корня плы-// пла-. Этот же суффикс сохраняется при образовании ряда существительных и прилагательных, образованных от глаголов с этим суффиксом: пла-ва-ни[j]-е ← пла-ва-ть; пла-ва-тельн-ый ← пла-ва-ть. Сохраняется — это значит, что значение глагольного суффикса сохраняется в производных словах других частей речи (например, значение –ва- ‘неоднонаправленный процесс’ в словах плаванье, плавательный).

Но есть производные существительные, прилагательные и наречия с этим корнем, в которых нет элементов значения, привносимых в слово глагольным суффиксом -ва-. Начнем с плов-ец (← плавать), сравним с пев-ец (← петь), жил-ец (← жить) и т.п.

Согласные -в- (пловец, певец и т.п.), -л- не являются самостоятельными морфемами, так как не имеют значения, они асемантичны. В словообразовании для них используется целый ряд терминов, но наиболее распространенный — интерфиксы (соединительные элементы). При словообразовательном анализе предлагаются разные подходы: интерфиксы либо оставляют между морфемами как элемент, не имеющий статуса морфемы; либо присоединяют их к корню (пев-ец) или к суффиксу (пе-вец).

Важно понимать, что в словообразовательной паре типа пла-ва-ть → пло(в)-ец (ср.: петь →пе(в)-ец) элемент в никак не связан с глагольным суффиксом -ва-. Аналогичная ситуация возникает при образовании наречия вплавь ← (пла-ва-ть) и прилагательного плав-уч-ий (← пла-ва-ть). Предложение относить эти элементы в подобных существительных и наречиях к корню представляется одним из самых логичных.

Таким образом у нас есть следующие алломорфы этого корня:

плы- (плы-ть, за-плы-ть, за-плы-ва-ть, при-плы-ти[j]-е); пла- (пла-ва-ть, по-пла-ва-ть, пла-ва-тельн-ый, пла-ва-ни[j]-е); плыв- (за-плыв, на-плыв, про-плыв); плов- (плов-ец); плав- (в-плавь, плав-уч-ий, по-плав-ок, плав-к-и).

Теперь о словарях. Объектом анализа для словообразования является производное слово: надо найти производную и производящую основы; что происходит с морфемами внутри основ, никого особо не интересует. Неслучайно, что в словообразовательных словарях нет последовательного членения на морфемы всех слов словообразовательного гнезда.

При этом при обучении в школе обсуждаются только плав-/плов-. 

Правильно писать так, как указано в академическом орфографическом словаре. Слово продакш(е)н пока не освоено языком настолько, чтобы вводить его в словарь. Однако заметим, что закономерно для русского языка написание промоушен, как и экшен, фикшен и др. Это связано с тем, что конечное шн не свойственно русскому языку. Заимствованные слова часто сначала произносятся в начальной форме с шн, но затем наращивают между согласными гласный. Этот процесс обычно начинается в формах косвенных падежей: промоушена, промоушеном.

В названиях иногда закрепляются слова в неправильных написаниях. Это может случиться из-за того, что при выборе названия просто не заглянули в словарь. Но причина может быть и в другом: в качестве названия используют какое-то новое, модное слово, которое еще осваивается языком, для которого норма еще не установлена. Через некоторое время лингвисты зафиксируют норму в словаре, но она может не совпасть с той формой, которая была выбрана для названия. А изменить официальное название часто оказывается практически невозможным.

Слово шелом, которое отмечено в русских говорах в значениях «навес», «конек» и др., восходит к др.-рус. слову шеломъ «шлем», как Вы справедливо написали, с полногласием.
Как и ст.-сл. шлѣмъ (с тем же значением «шлем», но с неполногласием), заимствованное в русский литературный язык, оно, в свою очередь, восходит к праслав. *šelmъ, которое было заимствовано из др.-герм. *helmaz первоначально в виде *xelmъ. Еще до развития полногласия в этом слове начальный твердый заднеязычный *х перешел в мягкий *š́ в
результате праславянского фонетического изменения, известного как первая палатализация, что, видимо, было вызвано сугубой твердостью (сильной веляризацией) др.-рус. *l (=[ɫ]). Накануне возникновения полногласия в древнерусском языке происходило еще одно фонетическое изменение: *el в положении между твердыми согласными переходил в *ol. Так, псл. *melko давало в др.-рус. сначала *molko, из которого позднее в процессе развития полногласия появлялось др.-рус. и совр. рус. молоко (ср. псл. *xoldъ, *gold, *golva > холод, голод, голова и т. п.). В слове же *š́elmъ изменению *el > *ol мешала мягкость предшествующего /š́/, в то время как развитию вставного /о/ после она не
мешала. Отсюда и получилось др.-рус. шеломъ, а не шоломъ: псл. *xelmъ > *š́elmъ > шеломъ. Форма с о поcле ш – шолом – также могла появиться в говорах русского языка, но это происходило позднее и было связано уже с другим изменением – переходом /е/ в /о/ перед твердыми согласными.

Словообразовательный разбор

Схема разбора:

1)    Поставить исследуемое слово в начальную форму.

2)    К исследуемому слову подобрать производящее.

3)    Объяснить значение производного слова через значение производящего слова (слов).

4)    Выделить производящую и производную основы.

5)    В производном слове выделить средство словообразования.

6)    Указать способ словообразования и процессы, сопутствующие словообразованию.

Разбор слова поверье:

1)    поверье — начальная форма существительного;

2)    поверье ← поверить;

3)    поверье: ‘предание, основанное на суеверных представлениях, приметах, необычных явлениях чего-либо, в которое кто-либо поверил’;

4)     повери- — производящая основа, повер[j] — производная основа.

5)    средство словообразования — суффикс -j-, который на письме передается с помощью разделительного мягкого знака: повер[j-е];

Такое же словообразовательное средство с тем же значением используется при образовании других отглагольных существительных, например: бесчести-ть → бесчест[j-е] (бесчестье).

6)    способ словообразования — суффиксальный, при словообразовании происходит усечение производящей глагольной основы: повери-. 

Если необходимо разобрать слово по составу (морфемный разбор), то словообразовательный разбор дополняют:

1)    анализом всех словоизменительных морфем слова.

2)    анализом всех словообразовательных морфем в слове.

Для слова поверье при морфемном анализе нужно выделить:

1)    окончание -е, которое является окончанием им. падежа (или винит. падежа, если в такой форме слово стояло в предложении; формы именит. и винит. падежей у этого слова совпадают), ед. числа, ср. рода.

2)    Словообразовательную приставку по-, с помощью которой образовалось слово поверить от слова верить (способ словообразования — приставочный). Это глагольная приставка, которая образует глаголы совершенного вида от глаголов несовершенного вида, ср.: бить → по-бить, мирить → по-мирить и др.

Полный разбор по составу: по-вер-j-е

В конце XVIII века в русском языке начался интересный процесс, продолжающийся до сих пор: у глаголов на -ить в личных формах ударение стало смещаться ближе к началу слова. Какие-то глаголы уже прошли этот путь: было варИшь – стало вАришь, было дарИшь – стало дАришь, было грузИшь – стало грУзишь, какие-то – только начали движение в эту сторону. То же самое происходит, кстати, с глаголом звонить, к которому неизбежно приковано общественное внимание. Он подчиняется общей языковой тенденции, поэтому рано или поздно вариант звОнишь (запрещаемый сейчас) обязательно станет нормативным (и дело здесь не в «массовой безграмотности», а в законах развития языка).

Глагол включить проходит тот же путь. Сейчас литературная норма – включИт (и включЁн) во всех значениях, но в вышедшем в 2012 году «Большом орфоэпическом словаре русского языка» ударение вклЮчит (и вклЮчен) уже дано в качестве допустимого (правда, пока это единственный словарь, который разрешил так говорить).

Что касается связи между ударением и значением, то в некоторых глаголах на -ить, где ударение сместилось ближе к началу слова, варианты «разошлись» по значениям: кОсит траву – косИт глазами, чИнит карандаш – чинИт препятствия. Произойдет ли такое с глаголом включить, пока сказать сложно. Сейчас, как сказано выше, предпочтительно включИт, включЁн во всех значениях.

Ошибки в «Большом толковом словаре» под ред. С. А. Кузнецова (версия 2014 года), размещенном на портале, нет. Различие в словарях, которое Вы обнаружили, свидетельствует об эволюции грамматической нормы. Еще в 1976 году в словаре «Грамматическая правильность русской речи» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской была отмечена тенденция к вытеснению родительного падежа со значением части винительным падежом: «При глаголах с общим значением «брать», «давать» (брать, взять, выпить, дать, купить, привезти, принести, съесть и под.) выбор падежной формы, в соответствии со старой нормой, определяется значением этой формы: винительный падеж обозначал полный охват объекта действием, определенное количество, родительный – распространение действия на часть объекта, неопределенное количество, например: Налей себе молока из кувшина (т. е. некоторую часть) – Выпей молоко, которое тебе оставлено. Такое разграничение конструкций существует еще и в настоящее время. Однако наряду с этим… различие между родительным и винительным падежом в описываемых конструкциях нейтрализуется, причем в современном употреблении родительный падеж в количественно-выделительном значении вытесняется винительным. Особенно активно этот процесс происходит в разговорной речи, в которой зафиксировано равное количество употреблений родительного и винительного падежа. Ср.: взять продуктов выпей воды, принеси молока, купить конопляного семени, принести хлеба, грибочков купить надо – брать укроп, дать сдачу, купить цветы, привезти сухари».

Короткий ответ на Ваш вопрос примерно таков. Буква э неслучайно появилась в русской кириллице только в эпоху Петра I — до этого времени в ней не было необходимости, так как звук этот (без сочетания с предшествующим [й], как в словах типа ель, поешь и т. п.) в исконно русских словах не встречался вовсе. Именно в эпоху массового заимствования русским языком слов из языков западноевропейских эта буква и понадобилась — и стала несомненным маркером заимствований. Против введения ее в алфавит яростно протестовал М. В. Ломоносов, писавший: "...ежели для иностранных выговоров вымышлять новые буквы, то будет наша азбука с китайскую". Последовательным сторонником использования буквы э в современном русском письме был Л. В. Щерба, который, однако, замечал: "Единственным оправданием правописания е вместо э в нарицательных заимствованных словах является постоянно протекающий процесс русификации этих слов. По мере их словарного освоения происходит и русификация их произношения, что, конечно, происходит чаще". Иначе говоря, произношение заимствованных слов со временем меняется. Теперь нормативно произношение слов типа музей, пионер, крем и т. п. с мягким согласным вместо изначального твердого. А периодически менять орфографию подобных заимствований было бы не слишком удобно.