Поскольку в данном случае мастер — это наименование категории, то у слова мастер-тренер склоняется только вторая часть: 

Именительный падеж: мастер-тренер.

Родительный падеж: мастер-тренера.

Дательный падеж: мастер-тренеру.

Винительный падеж: мастер-тренера.

Творительный падеж: мастер-тренером.

Предложный падеж: о мастер-тренере.

Владимир Владимирович Лопатин – главный научный сотрудник Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН, председатель Орфографической комиссии РАН, ответственный редактор самого полного на сегодняшний день «Русского орфографического словаря», лауреат Государственной премии СССР 1982 года (в составе авторского коллектива «Русской грамматики»).

«Русский орфографический словарь» (в котором Вы обнаружили слово призерка) фиксирует не только активную общеупотребительную лексику, но и слова разговорные, просторечные, жаргонные, устарелые – в той мере, в какой эти категории слов отражаются в художественной литературе, в газетно-публицистической и разговорной речи. Слово призерка в разговорной речи употребляется, поэтому оно и было включено в словарь.

В школе учат менять слово с безударным окончанием на слово с ударным окончанием (подставлять слово того же склонения), тем самым прояснится гласный в нужном падеже: в чистой тетрадке(?) - на чистой доске = в обоих случаях пишем букву Е.

Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.

См. ответ на вопрос № 256612.

Фамилия Подорожний склоняется следующим образом: - Именительный падеж (кто? что?) - Подорожний. - Родительный падеж (кого? чего?) - Подорожнего. - Дательный падеж (кому? чему?) - Подорожнему. - Винительный падеж (кого? что?) - Подорожнего. - Творительный падеж (кем? чем?) - Подорожним. - Предложный падеж (о ком? о чём?) - о Подорожнем.  

В современном русском языке падежей действительно шесть. Вот выдержка из «Русской грамматики»:
Категория падежа представлена шестью рядами форм, каждая из которых является носителем определенного комплекса категориальных морфологических значений. Эти ряды обозначаются как 1) именительный падеж, 2) родительный падеж, 3) дательный падеж, 4) винительный падеж, 5) творительный падеж и 6) предложный падеж.

Непростой вопрос. Здесь сразу несколько грамматических трудностей.

Трудность первая: склонять или не склонять спартанцев? В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано: «В вариантах управления с тремястами рублями – с тремястами рублей первый, в котором числительное, в соответствии с правилом, согласуется в падеже с существительным, является нейтральным, второй, в котором сложное числительное двести, триста и т. д. управляет существительным в форме родительного падежа, – разговорно-просторечным». Таким образом, эталонному употерблению соответствуют варианты:

Именительный падеж: бессмертные триста спартанцев
Родительный падеж: бессмертных трехсот спартанцев
Дательный падеж: бессмертным тремстам спартанцам
Творительный падеж: бессмертными тремястами спартанцами
Предложный падеж: о бессмертных трехстах спартанцах

Трудность вторая: винительный падеж у слова триста должен совпадать с родительным (из-за одушевленности спартанцев) или с именительным? Это сложный грамматический вопрос, не имеющий однозначного ответа. Исследователи указывают (см., например, статью И. Л. Микаэлян), что «числительные двести, триста и четыреста теоретически могут использоваться в форме вин = род, хотя в современном языке практически исключительно встречаются несогласованные формы вин = им». Предпочтительно поэтому в винительном падеже: бессмертных триста спартанцев.

Мужская фамилия Саак склоняется, женская нет. Р. и В. падеж – Артема Саака, Д. падеж – Артему Сааку, Тв. падеж – Артемом Сааком, П. падеж – (об) Артеме Сааке.

Достаточно подставить вместо одушевленного неодушевленное существительное или существительное 1-го (по школьной грамматике) склонения, где родительный и винительный падеж не совпадают даже в случае одушевленности. Мы купили цветок. Я увидел девочку. Винительный падеж.