Сочетание большим прогрессивным шагом вперед некорректно, лексически избыточно: прогресс – это и есть движение вперед. Фразу надо править.
Да, эти сочетания пишутся с прописной буквы.
Часть предложения после запятой надо править, по-русски не говорят дружба оказалась под испытанием. Можно сказать, что дружба подверглась серьезному испытанию.
Эти сочетания пишутся строчными без кавычек: золотая свадьба, серебряная свадьба и т. д.
Слово дом в знач. 'модный дом' или 'ювелирный дом' лучше писать с маленькой буквы.
Организационно-правовая форма предприятия пишется строчными буквами. Верно: акционерного общества.
Правильно написание строчными (т. к. это не собственное наименование). Обратите внимание: в последнем издании «Русского орфографического словаря» РАН (4-е изд. М., 2012) зафиксировано слитное написание: нагорнокарабахский. Таким образом, правильно: нагорнокарабахский конфликт или просто карабахский конфликт (такой вариант употребляется чаще).
Существительные – названия религий пишутся строчными: христианство, ислам, индуизм и др. Написание с прописной буквы возможно в контекстах, где этим словам приписывается особый высокий смысл.
Сочетание маленькая семья корректно.
Да, это так.
