Августейший - от лат. священный - составная часть титула монархов от прозвища первого императора Октавиана Августа (30 г. до н. э. - 14 г. н. э). До революции - титул, прилагавшийся к именам нарицательным, когда ими обозначались члены императорской семьи.
О выражении голубая кровь см в «Справочнике по фразеологии».

Если прилагательное произведено от сочетания белая луна, то корректно слитное написание (белолунный), если от сочетания белый и лунный, то дефисное (бело-лунный). См. примеры из текстов художественной литературы: Находится камень в ночи блестящий, белолунный жемчуг, большие черепахи и раковины, агат, мунань, изумруд, янтарь, но: Бело-лунный солнечный диск запутался в берёзовых ветвях.

Увы, но в справочнике под редакцией В. В. Лопатина в параграфах, регламентирующих слитное/раздельное правописание не с разными частями речи, имеются существенные лакуны. В частности, там ничего не сказано о том, что образованные от глаголов слова на -мый могут квалифицироваться либо как прилагательные, либо как причастия в зависимости от ряда условий.  

Это не регулируется нормами русского языка. Подобные характеристики расстояния субъективны и зависят от контекста и авторского замысла. Например, Владивосток находится очень далеко от Москвы — больше 9 тысяч километров по трассе. А Сириус к Земле расположен довольно близко по сравнению с другими звездами — всего-то 81 (с хвостиком) триллион километров!

Если это вопрос о падеже, здесь действительно необходим творительный падеж прилагательного или причастия. В подобных конструкциях прилагательное или причастие (при котором могут быть зависимые слова) находится в двойной зависимости: в падеже — от глагола, в числе и роде — от существительного: Они вешают флаг обращенным вверх (какой-либо частью); Знамя повесили перевернутым.

Слово спасибо, действительно, образовано от сочетания спаси богъ (после падения редуцированного ъ согласный г оказался в слабой позиции и утратился), но давно уже не воспринимается как сокращение от этого сочетания и не означает «спаси вас бог». Сейчас спасибо – обычное слово, самая распространенная в живой речи форма выражения благодарности. Сочетание большое спасибо правильно.

Склонение фамилий зависит в большинстве случаев не от их происхождения, а от того, на какой звук – согласный или гласный (если гласный, то ударный или безударный) оканчивается фамилия. Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются (кроме фамилий на -ых, -их типа Черных, Долгих), женские – нет. Правильно: господину Саруханяну, господину Кондратюку, но: госпоже Саруханян, госпоже Кондратюк.

Нет, поскольку русское слово молдаване образовано от русского названия страны – Молдавия. Республика Молдова – это название, используемое в официальных документах. Наличие этого официального наименования не отменяет существования в русском языке слова молдаване. Аналогично: Республика Беларусь (официальное название в документах), но белорусский, белорусы (эти слова образованы от слова Белоруссия, которое по-прежнему употребляется в неофициальных текстах).

Правильно: экстремальный, но экстрим. Оба слова – заимствованные, но пришли в русский язык в разное время из разных языков: экстремальный –  от франц. extreme из латинского extremus, экстрим – из английского (заимствовано недавно). В современном русском языке слово экстремальный не является производным от экстрим, и экстрим не может служить в качестве проверочного слова к экстремальный.

Согласно ГОСТ Р 7.0.97-2016 "Национальный стандарт Российской Федерации. Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Организационно-распорядительная документация. Требования к оформлению документов" (утв. Приказом Росстандарта от 08.12.2016 N 2004-ст) (ред. от 14.05.2018) при именовании адресата в деловых документах соблюдается следующий порядок: Фамилия И.О.