При воспроизведении исторических (дореволюционных) текстов рекомендуется написание Высочайший Двор. В остальных случаях двор пишется строчными буквами. С большой буквы пишется слово двор в названиях архитектурных памятников (Гостиный Двор, Апраксин Двор).

В обычных текстах правильно: Священный синод и Синод (если это слово выступает вместо сочетания Священный синод).  В церковных текстах принято написание Священный Синод (на что и указывает словарь православной лексики).

Верно слитное написание. Примеры: Эта вещь стоит гораздо больше, вы недоплатили (отдали меньшую сумму, не заплатили полностью). Цена оказалась больше, нужно доплатить, а вы еще не доплатили (не произвели доплату).

Орфографически верным будет слитное написание (по аналогии с зафиксированным в «Русском орфографическом словаре» РАН словом диетврач). Но, может быть, получится выразить нужный смысл не столь диковинными для русского языка словами?

Написание слов  антагонизм, антагонист и производных от них проверяется в словарном порядке (по орфографическому словарю) и обусловлено происхождением этих слов (они восходят к греческому antagonisma 'спор, борьба', antagonistes 'противник, соперник').

Слова с первой частью ранне- пишутся слитно. Для того чтобы проверить их написание, следует ввести часть слова, в написании которой Вы не сомневаетесь, и поставить звездочку на месте пропущенных букв.

Не факт. Слово абсолютно может как подчеркивать утверждение, так и усиливать отрицание. В этом предложении оно скорее усиливает отрицание (ср.: отнюдь не падкий, вовсе не падкий). Поэтому корректно раздельное написание.

Такое написание соответствует правилу: пишутся слитно существительные, образованные от пишущихся через дефис собственных имен (состоящих из двух частей с начальными прописными буквами). В основном это названия жителей городов и государств.

Орфографически верно: детски наивный.  См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012. Возможно, в книге сохранено авторское написание.

Да, при неофициальном употреблении (например, в тексте газетной статьи) верно написание строчными: глава республики предложил, глава Дагестана положительно охарактеризовал... Прописная буква нужна, если полное название должности используется в официальном тексте.