Спасибо за доверие! В трудных случаях всегда можно обратиться к нам за консультацией. 

Нет, такие сочетания не соответствуют нормам современного русского литературного языка, хотя многие лингвисты отмечают экспансию предлога на в разговорной речи. 

"...предлог на, как, например, приставка про- (всякие там пролечить, проплатить), в последнее время замелькал довольно активно: на тюрьме (как на зоне), на вагоне (Кипяток попросите на соседнем вагоне — недавно в поезде услышала), на районе (даже в какой-то рекламе было: У нас на районе никто не зажигает). А мое любимое выражение с предлогом на — на позитиве: Я пришел такой весь на позитиве. Раньше говорили на нервах, на голубом глазу, а теперь еще и на лавэ (то есть, при деньгах). <...> Вот в каком-то блоге обсуждают фотографию приятеля: смотри, мол, какой нарядный, на костюме (далее непечатно). Или вот по поводу дресс-кода: обязательно ли в этой фирме ходить на костюме, на галстуке? Попутно выяснила, что выражение на галстуке есть еще в жаргоне автомобилистов: в смысле машина заглохла, пришлось ехать на галстуке" (И. Левонтина. Русский со словарем. М., 2016). 

Дело в том, что глагол ранить двувидовой, то есть может обозначать как завершенное действие (совершенный вид), так и продолжающееся действие (несовершенный вид). Например: Его ранили (совершенный вид) и Ты меня ранишь (несовершенный вид). Причастия же (пишущиеся с -нн-) образуются именно от глаголов совершенного вида. Зависимые слова при определении, образованном от глагола ранить, указывают на то, что в данном случае он употребляется как глагол совершенного вида (раненный в бою, раненный в ногу и т. п.). Отсутствие же зависимых слов, напротив, указывает на то, что в данном случае слово ранить употреблено как глагол несовершенного вида (раненый солдат). Тогда как глаголы повредить и уничтожить относятся к совершенному виду, поэтому от них образуются причастия, которые пишутся с -нн-.

Это специфическая конструкция, в которой словоформа, находящаяся в подчинительной связи с другой словоформой, соединена с этой последней еще и при помощи сочинительного союза; в данном случае союз но соединяет глагол сажают и зависимое от него обстоятельство образа действия на высоких стульях. Такие конструкции описаны, в частности, в § 2098–2099 академической «Русской грамматики» 1980 г. В некоторых лингвистических работах они называются конструкции с вторичной союзной связью.

Ваш вариант пунктуационного оформления возможен. Пушистый друг – это конструкция, которая называется именительный темы. После нее может стоять точка, запятая, двоеточие, тире, вопросительный или восклицательный знак, многоточие, возможно сочетание двух знаков. Вот примеры Д. Э. Розенталя: Театр. Это слово связано с самыми ранними впечатлениями детства (Кат.); Логика мышления, ей он верил (Грос.); Студенческий быт: каким ему быть? (газ.); Тетка — где ж она откажет, хоть какой, а всё ж ты свой (Тв.); Любовь? Не знаю имени такого (Сельв.); Воспоминания! Как острый нож оне (Гр.); Человек будущего… О нём мечтали лучшие люди многих поколений, всех времён (Долм.); Друзья моей юности!.. Каждый из них пошёл своей дорогой (Серебр.).

Хороший вопрос. По общему правилу запятая не ставится, если придаточное предложение состоит из одного только союзного слова: Я в скором времени уезжаю, но я еще не решил куда. В приведенном Вами примере придаточное, усеченное до одного союзного слова, стоит после союза, но перед главным предложением. В этой ситуации лучше всего поставить тире. Ср. примеры из художественной  литературы: Гусев ей сказал, что уезжает далеко, но куда ― она не знала, спросить боялась. А. Толстой, Аэлита. Затем мы отправимся, но куда ― не скажу; во всяком случае, недалеко отсюда. А. Грин, Алые паруса. Искусство, конечно, развивается и шагает, может быть даже семимильными шагами, но куда ― не знаю. В. Некрасов, Взгляд и Нечто.

Это новое слово, и поэтому в академическом орфографическом словаре оно пока не зафиксировано. Существительные, состоящие из двух частей, первая из которых заканчивается на согласный и самостоятельно не употребляется (часть дог здесь имеет несвойственное ей в русском языке значение 'собака вообще', а не 'собака определенной породы'), пишутся по-разному – и слитно, и через дефис. Сейчас, судя по данным интернета, преобладает написание дог-бокс, что вполне естественно: новые составные существительные на первом этапе освоения русским языком чаще пишут через дефис. Со временем, если слово приживется, будет освоено, возможно изменение написания на слитное. Очень надеемся, что предмет, названный этим словом, войдет в наш обиход :)

Спасибо за новое слово! Мы передадим его орфографистам в Институт русского языка им. В. В. Виноградова РАН.