Произносим твердо, а пишем букву е, а не э — такова закономерность русского письма. Ср.: партер, темп, термос, спрей, модель и др. Не в начале корня после согласных буква э пишется для передачи гласного э и одновременно для указания на твердость предшествующего согласного только в немногих нарицательных словах иноязычного происхождения. Раньше их было совсем мало (мэр, пэр, сэр), в последние годы список исключений расширился (ср.: сэндвич, фэнтези, фэншуй и др.). Но всё-таки языковеды пытаются максимально сдерживать этот процесс и подавляющее большинство новых заимствований кодифицируют в словарях в написании через е, например: бренд, тренд, лейбл, секонд-хенд, хештег и многие другие. 

Большой толковый словарь

При анализе структуры слова результат членения на морфемы может быть разным, и при этом во всех случаях правильным. Это связано с тем, что анализ может быть:

1. словообразовательным и собственно морфемным;

2. синхроническим и диахроническим.

Чтобы понять, какой тип анализа представлен в том или ином словаре, необходимо внимательно ознакомиться с предисловием и теоретической частью словаря.

Членение замет-н-ый представлено в «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова. Прилагательное заметный в этом словаре рассматривается как мотивированное непроизводным (с точки зрения современного, состояния языка) глаголом заметить. По сути, в этом словаре в слове выделяется не корень, а непроизводная основа слова, которое находится в вершине словообразовательного гнезда. Непроизводным глагол заметить считается в связи с утратой семантической связи с исторически производящим для него словом метить.

Однако словообразовательная непроизводность в современном языке не исключает возможность членения при собственно морфемном анализе. Поэтому в «Словаре морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой в слове заметить выделяется приставка за- и корень -мет-.

В этимологических словарях, демонстрирующих диахронические процессы образования и изменения слова, глагол заметить обычно отсылает к словарной статье производящего слова метить, подтверждая историческую членимость приставочного глагола (см., например «Этимологический словарь» М. Фасмера).

Обе глагольные формы корректны. Но необходимо отметить особенности употребления вариантов форм глагола прибегнуть и некоторых других глаголов, в частности воздвигнуть, иссякнуть, подвергнуть, свыкнуться. У глаголов этой группы формы прошедшего времени без суффикса -ну- получили большее распространение; ср. формы множественного числа: прибегли, воздвигли, иссякли, подвергли, свыклись. Процесс постепенной утраты суффикса -ну- в глагольных формах наблюдался на протяжении двух веков, при этом отдельные глаголы сохранили вариантные формы мужского рода, о чем свидетельствуют соответствующие грамматические пометы в словарях русского языка: прибег — прибегнул, воздвиг — воздвигнул, подверг — подвергнул. Однако в современной речи вариантность обсуждаемых глагольных форм представлена более широко, что можно видеть на примере глагола прибегнуть и что отражает описание в «Большом академическом словаре русского языка», издаваемом Институтом лингвистических исследований РАН.

В слове солнце корень солнц-, в современном языке это непроизводное слово. Слово солнышко образовано от слова солнце с усечением производящей основы с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса -ышк-, корень производного слова ― солн-. Слово солнечный образовано от слова солнце с помощью суффикса -н-, при образовании производного слова в производящей основе, совпадающей с корнем, происходят чередования: согласный ч чередуется с ц, а гласный е с нулем звука, корень производного слова ― солнеч-. Варианты солнц-, солн-, солнеч- являются алломорфами одного корня.

В слове сердце корень сердц-.

Этимологически в словах солнце и сердце выделялся суффикс -ц-. В современном языке значение этого суффикса не определяется, семантическая связь с общеславянскими корнями сълнь и сьрдь утрачена. Поэтому произошло слияние этимологических корней и суффикса, такой процесс называется опрощение.

Нормативными словарями современного русского языка это слово не зафиксировано, хотя в специальных текстах изредка встречается как вариант углизация (чаще), так и вариант углеизация. Это существительное образовано по весьма продуктивной модели: от глагола с суффиксом -изирова(ть) при помощи суффикса -ациj. Ср.: ионизировать — ионизация, капитализировать — капитализация и т. п.  При этом в некоторых (хотя и редких) случаях между конечным согласным корня и гласным и суффикса втсречается вставка гласного е, например: атеизация, европеизация. 

Разбор слова по составу — это определение состава морфем в слове. Для разбора слова дощечек необходимо выполнить его формообразовательный и словообразовательный анализ.

Для формообразовательного анализа подберем другие формы слова дощечка: дощечк-а, дощечк-у и т. д.; дощечк-и, дощечек-Ø и т. д. В форме дощечек выделяется нулевое окончание, являющееся показателем род. падежа мн. числа.

Словообразовательный анализ: доск-а → дощ-ечк-а / дощ-ечек-Ø. Слово дощечка (и все его формы) образовано от слова доска. Производящая основа доск- совпадает с корнем; производная основа дощ-ечк- включает корень и суффикс –ечк- с уменьшительно-ласкательным значением. Словообразовательный процесс сопровождается широко распространенным историческим чередованием ск // щ (доск- / дощ- ― алломорфы одного корня). При изменении по формам в суффиксе возникает чередование нуля звука с е (-ечк- / -ечек- ― алломорфы одного суффикса).

Состав слова: дощ-ечек-Ø.

Чтобы правильно выделить корень в слове, надо проанализировать словообразовательную цепочку, которая привела к образованию производного слова. Для слова уборка эта цепочка выглядит следующим образом:

брать → у-брать → у-бирать → у-бор-к-а.

В этой цепочке представлены следующие варианты (алломорфы) корня: -бр- / -бир- / -бор-.

В современном языке глагол брать и многие производные от него слова очень многозначны, причем разные значения этих многозначных слов могут существенно различаться. Осознать семантическое единство корня можно, если рассмотреть основные значения производящего глагола брать и производных от него приставочных:

брать — в основном значении ‘захватывать что-либо рукой или  то, что взято’);

убрать — ‘унести, снять, удалить откуда-либо’;

убирать — ‘уносить, снимать, удалять откуда-либо’.

Существительное уборка обозначает процесс, поэтому оно образуется от глагола несов. вида убирать, а не от глагола сов. вида убрать.

В глаголе гнуть и в приставочных от него (обогнуть, загнуть и т. д.) и в инфинитиве (гн-у-ть), и во всех личных формах (гн-у, гн-ешь и т. д.) выделяется корень гн-.

Это непроизводный глагол несовершенного вида, суффикс -ну- в нем не выделяется. 

Существуют производные глаголы несовершенного вида, которые образуются от прилагательных, например: глух-ой → глох-ну-ть, слеп-ой → слеп-ну-ть, сухой → сох-ну-ть. Они имеют значение ‘приобретать признак, названный производящим прилагательным’, например: глух-ой → глох-ну-ть, слеп-ой → слеп-ну-ть, сухой → сох-ну-ть и т. п. При образовании основы настоящего времени глох-ну-ть – глох-н-ут, слеп-ну-ть – слеп-н-ут и т. д. используется суффикс -н-, а при образовании основы прошедшего времени суффикс -ну- полностью исчезает: глох-ну-ть – глох-л-и, слеп-ну-ть – слеп-л-и. Возможно, вас интересовал этот формообразовательный процесс. Однако и в этом случае преобразования происходят в формообразующих основах, а не в корнях.