Да, склонение мужской фамилии Матей обязательно. Женская фамилия не склоняется.
Да, склонение мужской фамилии Бочай обязательно. Женская фамилия не склоняется.
Склонение мужских фамилий, оканчивающихся на согласный, обязательно. Правильно: Гребенюка Романа.
Да, склонение мужской фамилии Беспалюк обязательно. Женская фамилия не склоняется.
Да, склонение мужской фамилии Реулец обязательно. Женская фамилия не склоняется.
Женская фамилия Ременец не склоняется, склонение мужской фамилии Ременец обязательно.
Да, склонение этой фамилии обязательно, если она относится к мужчине.
Написание зависит от формы глагола. В повелительном наклонении следует писать выберите; в форме будущего времени изъявительного наклонения - выберете.
Склоняется только мужская фамилия, предпочтительно склонение с выпадением гласной (Починка, Починку...).
Это название следует считать грамматически освоенным, его склонение (согласование) вполне уместно.