Правильно со строчной.
Употребляются варианты Гагра и Гагры (второй вариант отражен в названии известного фильма «Зимний вечер в Гаграх»). Но словарями русского языка зафиксировано: Гагра, такое же название употребляется в картографических изданиях Росреестра. Это склоняемое существительное: поехать в Гагру, отдыхать в Гагре, сказочная Гагра.
Такое употребление некорректно. Возможные варианты: Что-то всецело захватило меня; всецело захватило мое внимание.
Такая проверка некорректна! Слова рябина и рябь нельзя считать однокоренными, несмотря на этимологическое родство.
Да, эта фамилия склоняется и в женском, и в мужском варианте: Марии Плюты, Ивана Плюты.
Современной орфографической норме соответствует написание через дефис: естественно-исторический. Слитное написание можно встретить в старых словарях и их современных переизданиях, игнорирующих развитие орфографической науки за последние десятилетия.
Слово тапас пока не зафиксировано в словарях. Обычно его употребляют как существительное множественного числа и не склоняют.
Форма слова тумана не является прямым дополнением. О прямом дополнении можно прочитать здесь.
По-русски этот город традиционно называется Новый Орлеан (т. е. определение переводится на русский язык). Корректно использовать именно это название.
Запятая не требуется. Должность генеральный директор пишется с маленькой буквы. Для того чтобы сказать, насколько корректно составлена эта часть предложения в целом, требуется более широкий контекст.
