Правило гласит, что в официальных составных названиях органов власти, учреждений, организаций, научных, учебных и зрелищных заведений, обществ, политических партий и объединений с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные.

Сложность в том, что в материалах на сайте самого движения слову Первые присваивается статус имени собственного (ср. заголовки «Современное экологическое воспитание наставники Первых обсудили в Кемерово»); написание Первые фигурирует на логотипе организации. Тем не менее в официальных документах, как и в уставе организации, используется соответствующее правилу написание — «Движение первых». Такое же написание — в официальной хронике. 

Слово Первые может быть выделено таким образом в новостных текстах, но стилистически нейтрально: участники «Движения первых».

Словосочетание приводить в пример допустимо использовать в случае, когда что-либо рассматривается как иллюстрация тезиса, суждения. В «Национальном корпусе русского языка», к которому рекомендуем обратиться, более 250 цитат разных авторов, что несомненно позволит найти убедительные подтверждения разнообразного с семантической и стилистической точки зрения использования оборота приводить в пример.

Этот вопрос, конечно, лучше адресовать составителям ГОСТа, но можно предположить, что, поскольку в самом тексте ГОСТа дважды фигурирует дата 1 января без начального нуля, на основной текст письма это требование не распространяется.

Слово тур в значении 'путешествие, поездка' сочетается с предлогом в.

Строгих норм на этот счет не существует. Вы совершенно правы: повтор возможен, если он не мешает восприятию.

Это слово, осваиваясь в языке, испытывало колебания в написании (что часто происходит с заимствованными словами), но сегодня нормативным является только один вариант: риелтор, риелторский. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. М., 2012.

В русском языке есть два разных слова (вИдение и видЕние) с разными значениями. У каждого из них есть вариант написания, оканчивающийся на -ье. Формы на -ье являются разговорными, но часто употребляются в поэтической речи (для облегчения чтения и рифмовки).

В русских словах может произноситься и больше трех согласных подряд (напр., встрепенуться), но стечение согласных все же достаточно редкое явление. Группы согласных часто упрощаются. Это происходит и в слове отсутствие. Согласные [т] и [с] сливаются в один звук [ц].

Обычно в конце формул пожелания ставится восклицательный знак, поскольку они часто произносятся с соответствующей интонацией: Спокойной ночи! Приятного аппетита! Если автор текста хочет показать, что фраза была произнесена с интонацией повествовательного предложения, он может поставить вместо восклицательного знака точку.