Эти наречия образованы разными способами: досуха - от прилагательного сухой с помощью предлога ДО, досрочно - от прилагательного досрочный.
Правильно: катание в карете.
К сожалению, не знаем. Единого правила для постановки ударения в фамилиях нет.
См. здесь.
Правильно: в будни.
Мягкий знак в таких формах имен, как Катюш, Паш, Саш, Наташ и т. п., не пишется.
Следует писать слитно, со строчной буквы: незнайка.
Возможны оба варианта.
Употребительны оба варианта.
Мужская фамилия Безрук склоняется, женская – нет. По законам русской грамматики склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук (кроме фамилий на -ых, -их типа Черных, Долгих). Это правило можно найти в любом нормативном справочном пособии по русскому языку, где есть раздел о склонении собственных имен.
