Оба варианта написания верны, однако расположение определения после определяемого слова (набор подарочный) соответствует только канцелярскому стилю речи. 

Запятые не требуются. Как вариант, часть предложения можно оформить как вставную конструкцию: Из-за этого (или по другой причине) новый заход оказался быстрым.

В конструкциях с отрицанием при образованных от переходных глаголов деепричастии или причастии, в связи с книжным характером этих форм, используется родительный падеж: не покидая Москвы.

Лежа на спине — несогласованное определение (положения какого?), не требующее обособления.

Корректно раздельное написание: не помеченные на удаление объекты. 

Правильно: специалист по истории русского Средневековья.

Нужно признать, что фест уже стал самостоятельным словом. Приведем несколько примеров его свободного употребления в современных текстах: открывать фест, приехать на фест, гости феста, директор феста, билеты на фест, в финале феста, программа феста, какой-то фест, в каждом фесте. Сложные слова и сочетания с приложением, в которых фест является вторым компонентом, могут записываться по-разному. Выбор написания зависит от особенностей первого компонента, например автофест напишем слитно по правилу о словах с первой несамостоятельной иноязычной частью на гласную, а рок-фест и фолк-фест — через дефис по правилу о сочетаниях из двух самостоятельных слов со склоняемой второй частью. Правила можно прочитать в справочнике ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря».  

В этом восклицательном предложении содержится частица не: Да с кем они только не танцевали!

Оборот с союзом как в первом предложении допускает двоякое понимание в зависимости от более широкого контекста: 1) сравнительный; 2) с союзом как в значении «в качестве». Поэтому здесь возможно как наличие запятой (1), так и ее отсутствие (2). Во втором предложении может быть только сравнение, поэтому необходима запятая. 

Нет, такое выражение неверно. Возможно: договор составлен в двух экземплярах.