Формально грамматический центр — нет (отрицательная форма настоящего времени глагола быть). Предложение — безличное. Этим можно и ограничиться, если речь идет об освоении школьной программы.

Если же выйти за ее рамки, то придется учесть, что перед нами отрицательно-безличная модификация утвердительного предложения: его мы и получим «вновь», если изымем отрицание (Есть сомнения в опасности этого человека). При этом, как видим, предложение оказывается двусоставным, сомнения — подлежащее. В отрицательно-безличной модификации оно принимает форму родительного падежа и превращается как бы в дополнение (но именно как бы!), однако без него предложение окажется бессмысленным, потому что, если мы его опустим, придется опустить и всё остальное, поскольку оно зависит от сущ. сомнения. Останется только Нет, которое явным образом не эквивалентно по смыслу тому, с чего мы начали.

Вывод: если формально-школьный ответ — нет, то неформальный ответ — нет сомнений, в котором нет — главный член безличного предложения, а сомнений — «разжалованное» подлежащее. В лингвистике в последние примерно 40–50 лет в подобных случаях говорят также о «неканонических подлежащих».

Оба варианта корректны.

При оборотах указанного типа, образованных сочетанием «именительный падеж плюс творительный падеж с предлогом с», сказуемое может стоять как в форме множественного, так и в форме единственного числа.

Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается двум взаимосвязанным равноправным субъектам, например: После обеда Лось с Русаковым пошли посмотреть склады и магазины (Т. Семушкин); Встали и Воропаев с Корытовым (П. Павленко).

Форма единственного числа сказуемого показывает, что подлежащим является только существительное в именительном падеже, а существительное в творительном падеже выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия, например: Граф Илья Андреевич в конце января с Наташей и Соней приехал в Москву (Л. Толстой); ...Пришел Разметнов с Демкой Ушаковым (Шолохов).

Выбор одной из двух возможных форм согласования сказуемого зависит от смысловой соотнесенности действия и его производителя. Иногда на решение этого вопроса влияет лексическое значение слов, входящих в сочетание, например: Мать с ребенком пошла в амбулаторию; Старший брат с сестренкой уехал в деревню. Ср.: И графиня со своими девушками пошла за ширмами оканчивать свой туалет (Пушкин).

1. Правила написания сложных прилагательных в своде 1956 года, на который Вы ссылаетесь, не точны. Они были существенно дополнены в ходе исследований второй половины ХХ — начала ХХI вв. Правила, с большей точностью отражающие нормы письма, Вы можете прочитать в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря». Написание слов корково-мостовой, крышемостовой, корково-ретикулярный соответствует правилам. 

2. Слова спиновокругводопроводный, тройнично-таламо-корковый, тригемино-цервико-солитарный следует отнести к словарным, пишущимся по традиции, сложившейся в профессиональном языке. 

3. Корректно дефисное написание: лекарственно-индуцированная.

Вот что было сказано в ответе:
«Любое предложение с однородными сказуемыми может быть охарактеризовано и как осложненное простое, и как сложное. Случаи, когда сказуемые не распространены (или мало распространены), предпочтительнее характеризовать как простые осложненные предложения (Иван споткнулся и чуть было не упал; Иван не читал книгу, а мечтал). Напротив, случаи, когда каждое из сказуемых значительно распространено (в примере про смерч у каждого из них есть собственный детерминант: Внутри смерчевого столба; по краям) и, в сущности, описывает отдельную ситуацию, предпочтительнее трактовать как сложные предложения».

Понятия «сложного неполного предложения», как видите, в ответе нет, потому что такого понятия вообще не существует. Это первое.

Второе. В ответе сказано, что трактовка предложения как сложного является предпочтительной; в нем нет однозначного утверждения, будто предложение следует трактовать только как сложное.

То же самое можно сказать и о предложении Осенью и зимой озера пересыхали, а весной вновь наполнялись водой. Что же касается составителей контрольно-измерительных материалов для ОГЭ и ЕГЭ, то о мотивах их действий и нужно спрашивать их. Портал «Грамота.ру» составлением этих материалов не занимается, а составители к Грамоте за консультациями не обращаются. У нас претензий к тому, что они делают, много, но они подчиняются не Грамоте, не Академии наук, не какому бы то ни было научному совету и т. п., а министерству…

Кстати, рекомендуем Вам повторить спряжение глагола сеять.

Запятая нужна, так как частица только относится не к придаточной части когда дошло до пристанища, а к последующей главной. В этом можно убедиться, переставив придаточную часть: Или привечали Богодула в Матёре больше, или по другой какой причине приглянулся ему остров, но только Богодул, когда дошло до пристанища, выбрал Матёру.

В третьем предложении из приведенных Вами частица только также стоит между союзом но и словом когда, но она относится к придаточной части. Перестановка придаточной части ведет к искажению смысла. Ср.: Приписать отрывку какой-то смысл очень легко, но только когда мы рассмотрим его в непосредственном контексте, мы сможем по-настоящему понять, что хотел сказать автор и Приписать отрывку какой-то смысл очень легко, но только мы сможем по-настоящему понять, что хотел сказать автор, когда мы рассмотрим его в непосредственном контексте. 

В двух других примерах перед частицей только нет союза. В них действуют такие правила.

1. Не ставится запятая между главной и следующей за ней придаточной частью сложноподчиненного предложения, если перед подчинительным союзом или союзным словом стоит отрицательная частица не. Ср.:  В море, в качке, спишь не когда хочешь, а когда можешь; Он знает не только где водится дичь, но и какие её разновидности там обитают.

2. Если перед подчинительным союзом стоят усилительные частицы как раз, только, лишь, исключительно и т. п., то запятая ставится перед ними вопреки интонации (при чтении пауза перед ними не делается). Ср.: Я эту работу выполню, только если буду свободен.

Нормативные словари дают разную информацию о формах глагола плодоносить, и наш словарный ресурс ее отражает. Так, «Грамматический словарь русского языка» А. А. Зализняка (М., 2019) не отмечает неполноту парадигмы (индекс нсв нп 4c), «Орфоэпический словарь русского языка» под ред. Р. И. Аванесова (5-е изд. М., 1989) и под ред. Н. А. Еськовой (10-е изд. М., 2015) включает в статью плодоносить стандартные для словаря контрольные формы -ношу, -носит. Однако многие словари при стандартных контрольных формах 1-го и 2-го или 1-го и 3-го лица дают только форму 3-го лица (ср., например, со словарной подачей глагола учиться). 

Грамматический и орфоэпический словари не учитывают семантические ограничения на употребление форм 1-го и 2-го лица глагола плодоносить, формальных же препятствий для образования этих форм нет (так же дается и глагол брезжить). Исключить употребление системных форм 1-го и 2-го лица нельзя, хороший тому пример находим в тексте письма, процитированного в мемуарах А. А. Тахо-Годи:

И с каждой осенью я расцветаю вновь. А. Пушкин
Не доблесть расцветать весной и летом,
Когда любое семечко в чести,
И травы взысканы теплом и светом,
Расти способна чуть ли — на кости.
Но если мрак и холод, и при этом
Мы в возрасте весьма жды десяти,
Каким отважным нужно быть поэтом,
Чтобы дерзать и осенью цвести.
И вот, стирая старости границы
(Так человек, лишившийся десницы,
Ловчась, перерождается в левшу),
И я, в слезах, питая песен стаю,
И осенью ненастной расцветаю,
И лютою зимой плодоношу.

[А. А. Тахо-Годи. Жизнь и судьба: Воспоминания (2009)]

Спасибо за вопросы!

Вы указываете на одно из самых трудных и противоречивых мест в русском правописании. Сперва о кавычках. Принципиальной разницы между сочетаниями профессия "сварщик" и специальность "математика" нет, такие сочетания желательно писать единообразно. (Впрочем, все же есть одно различие: можно составить грамматически корректное согласованное сочетание профессия сварщика и нельзя составить согласованное сочетание специальность математики; это уже трудность в области грамматики, а не в области орформления текста, хотя последнее проистекает из первого).

А как единообразно - давайте исходить из складывающейся практики письма. Если приложение - изменяемое, склоняемое слово, то в случае падежного рассогласования и возникают кавычки, которые выступают именно как графический знак рассогласования. Поэтому на практике возникают такие сочетания, как по специальности "математика", по профессии "сварщик" и т. п. Сочетания же стиль + люкс, ретро, поп, ампир, барокко и другие - это сочетания с неизменяемыми приложениями, для того чтобы дополнительно отметить эту неизменяемость, кавычки не нужны.

Это полярные случаи. Названные же Вами примеры - промежуточные между двумя полюсами, поэтому в них и наблюдается оформительский разнобой.

Теперь о запятых. Корень проблемы - в том, что считать главным, а что зависимым словом в словосочетании, ведь словосочетание подразумевает подчинительную связь между своими частями, между входящими в него словами. Таким образом проблема вновь выходит из чисто пунктуационных рамок и передвигается в сферу грамматики, то есть устройства текста, его структуры, логических отношений между словами. А эти логические отношения выстраиваются автором текста, автором мысли, сообщения. И поэтому конечное решение - при выборе одного из возможных (подчеркнем: возможных, т. е. логически непротиворечивых) вариантов - за автором текста.

Запятая не нужна. Обратите внимание: фраза в части касающейся не «не совсем грамотная», а совершенно неграмотная.

Верно: ...сведения... являются строго конфиденциальными.

Оба варианта верны, однако между ними есть некоторые различия в значении. 

Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает все сочетание, т. е. действие приписывается двум взаимосвязанным равноправным субъектам, например:После обеда Лось с Русаковым пошли посмотреть склады и магазины (Т. Семушкин); Встали и Вбропаев с Корытовым (П. Павленко).

Форма единственного числа сказуемого показывает, что подлежащим является только существительное в именительном падеже, а существительное в творительном падеже выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия, например: Граф Илья Андреевич в конце января с Наташей и Соней приехал в Москву (Л. Толстой); ...Пришел Разметнов с ДемкойУшаковым (Шолохов).

Выбор одной из двух возможных форм согласования сказуемого зависит от смысловой соотнесенности действия и его производителя. Иногда на решение этого вопроса влияет лексическое значение слов, входящих в сочетание, например: Мать с ребенком пошла в амбулаторию; Старший брат с сестренкой уехал в деревню. Ср.: И графиня со своими девушками пошла за ширмами оканчивать свой туалет (Пушкин).

В других случаях играет роль лексическое значение сказуемого, например: Мать с дочерью долго не могли успокоиться и вспоминали случившееся (оба действия могут производиться при равноправном участии субъектов действия); Коля с Петей поступили в одну и ту же школу; Брат с сестрой возвратились порознь. Ср.: Клычков с Чапаевым разъехались по флангам... (Фурманов).

Иногда играет роль порядок слов в сочетании. Ср.: Муж с женой пошли в театр. – Жена с мужем пошла в театр (обычно в рассматриваемых конструкциях при различной родовой принадлежности существительных на первом месте фигурирует более сильный в грамматическом отношении мужской род, например: отец с матерью, дед с бабкой, мальчик с девочкой; поэтому выдвижение на первое место существительного в форме женского рода подчеркивает его роль, а отсюда согласование с ним сказуемого).