Ваши коллеги не вполне правы. Глагол пойти в конструкции пойду и (сделаю что-либо) имеет значение "приступить к действию, обозначенному вторым глаголом". Такие конструкции широко распространены в разговорной речи. Например: Вот пойду и мультики смотреть буду! А идти никуда не могу — тетя Диана так за меня боится… [Леонид Каганов. Танкетка (2011)]; И грозил со слезою в голосе: — Вот пойду и застрелюсь [В. Г. Галактионова. Спящие от печали (2010)]; Однажды на репетиции Завадский... вскочил и с криком «Пойду и повешусь!» выбежал из зрительного зала [Алексей Щеглов. Фаина Раневская: вся жизнь (2003)]. Очевидно, Ваши коллеги решили, что в произнесенной Вами фразе соседствуют два глагола движения (пойти и поехать), отчего она и действительно выглядит неловкой. Однако подчеркнем, что грамматически такая конструкция вполне закономерна. 

Выражение добраться домой употребляется давно и сравнительно часто. В русской литературе упоминаются персонажи, о которых авторы сообщают: мечтал поскорее (побыстрее / пораньше) добраться домой, с трудом добрался домой, добралась домой поздно, еле добрался домой. В толковых словарях русского языка сочетаемость слов не всегда отражается в полном объеме.

В речи автоинструктора фраза означает: начинайте движение на автомобиле по прямой линии задним ходом. 

Возможно единственное и множественное число сказуемого, но попробуйте перестроить фразу так, чтобы избежать тавтологии принято... приема.

Правильно: согласно документу. Конструкция согласно с документом имеет стилистический отенок устарелости. 

Фраза исследования показали (подтвердили) вполне корректна. 

Корректно: забыть о головном уборе. 

Слово первый в таких случаях является обращением. Соответственно, фразу нужно оформить так: Первый, первый, я второй!

Нет, такая фраза некорректна. Однако ее можно иначе оформить пунктуационно — как конструкцию с обращением: Люди, находящие время на сериалы! Как вам это удаётся? 

Несомненно, это пример языковой игры, когда необычное определение вносит в описание новые, неожиданные штрихи.