Да, запятая обязательна.
Запятая ставится между частями сложносочиненного предложения.
Сочетание сначала начал речь не красит. Возможно: Первым начал петь Павлик. Сначала запел Павлик.
Если оба простых предложения в составе сложносочиненного являются восклицательными, запятая перед союзом и не ставится. Если же первая часть предложения произносится не с восклицательной интонацией, запятую надо поставить: Корабль остался без топлива, и вдобавок на меня напали!
Лучше всего так прямо и полно написать: ребенок ходит на занятия (тренировки) в бассейн.
Вводное слово вероятно следует выделить запятыми. После тире запятая не ставится, она должна быть поставлена перед тире: Две стороны жертвоприношения – страх смерти и утверждение жизни, – вероятно, находятся во власти одного и того же божества.
Предложение построено неудачно, его нужно дополнить или перестроить, например, так: Можно полюбить нас: нужно только отключить страх.
Корректно: «Большая двадцатка».
Знаки препинания расставлены верно.
