Хотя интересующие Вас глаголы и синонимичны в значениях "оказаться под воздействием, влиянием кого-, чего-л., в зависимости от кого-, чего-л." (подпасть) и "испытать воздействие, влияние каких-л. обстоятельств, обнаружить себя в каком-л. положении (обычно неблагоприятном, неприятном, опасном)" (попасть), возможность их употребления ограничена лексической сочетаемостью. Корректно: попасть под дождь, подпасть под обаяние, подпасть под санкции.
Аббревиатура склоняется: борьба со СПИДом.
Для этого нужно разобраться, что такое форма слова. См.: http://slovari.yandex.ru/~%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B8/%D0%91%D0%A1%D0%AD/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0/
Корректно: под подпись.
Верно: подпадать под действие санкций. Только у глагола подпадать есть соответствующее значение.
Правильно: ознакомить сотрудников с инструкцией под подпись или под расписку.
Верно: коробка для кофе; коробка из-под кофе.
Такая конструкция возможна.
Правильно: в 3-дневный срок. Обратите внимание: не под роспись, а под подпись. См. в «Словаре трудностей»: Подпись, роспись и виза.
