Знаки препинания расставлены верно, только перед многоточием не требуется пробел: Продолжи песню: «Это было...»
В этом предложении дрозды — именительный темы. Возможны разные варианты его оформления, например: Дрозды — они летали под ветками и шумели; Дрозды... Они летали под ветками и шумели.
Верно: С Гайдаром — значит первые.
Падеж словоформы врача в этом контексте установить невозможно: вопрос кого? не различает винительный и родительный падежи. Глагол бояться действительно может присоединять в качестве зависимого слова одушевленное существительное в винительном падеже (боюсь маму). Правда, следует заметить, что, согласно справочнику Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке», такой вариант (бояться кого) имеет разговорную окраску. Нейтральная форма зависимого существительного при глаголе бояться — форма родительного падежа (боюсь мамы).
