Занятый – причастие, обозначает временный признак: занятый кубиками малыш. Занятой – прилагательное в значении 'не имеющий свободного времени, обременённый делами, работой', обозначает постоянный признак: вечно занятой отец.

Слово управление пишется с прописной буквы, если употребляется как первое слово в официальном названии, например: Управление делами Президента Российской Федерации, Управление международного сотрудничества Российской академии наук. 

У Андрея Вознесенского так:

И качнется бессмысленной высью
пара фраз, залетевших отсюда:

"Я тебя никогда не забуду.
Я тебя никогда не увижу".

(Андрей Вознесенский. Не отрекусь. Избранная лирика. Минск, "БелАДИ", 1996.)

Слова департамент и управление пишутся с прописной как первое слово официального названия: Департамент налоговой полиции РФ, Управление делами Президента РФ. В остальных случаях корректно написание со строчной: начальник управления, директор департамента.

Президент пишется с прописной буквы в значении «глава государства» в текстах официальных документов: Президент Российской Федерации, Управление делами Президента РФ, Президент Французской Республики. В остальных случаях верно написание со строчной буквы: президент Российской академии наук, президент компании, выборы президента.

Слово следующее употребляется как существительное (является субстантивированным прилагательным) при употреблении в качестве подлежащего или дополнения, например: Итак, из изложения «Русского вестника» явствует следующее: 1) Что заведование делами книгопечатания переходит из министерства народного просвещения в министерство внутренних дел. 2) Что реформа будет приводиться в исполнение не сразу, но постепенно (М. Салтыков-Щедрин); Рано утром с свежей головой вдруг решил следующее: главный признак характера есть, каков он в вражде (Л. Толстой).

По правилам русской орфографии названия должностей, званий, титулов пишутся со строчной буквы, напр.: президент, канцлер, председатель, министр, премьер-министр, заместитель министра, мэр, император, королева, хан, шейх, генеральный секретарь, заслуженный деятель культуры, лауреат Нобелевской премии, посол, атташе, директор, генеральный директор, академик, доктор наук, профессор, член-корреспондент, генерал-майор, командующий войсками, руководитель департамента, заведующий отделом, управляющий делами. Исключение делается только для названий высших государственных должностей и титулов в официальных текстах, напр.: Президент Российской Федерации, Председатель Правительства РФ, Председатель Государственной думы, Премьер-министр Индии, Её Величество Королева Англии.

Названия должностей, званий, титулов пишутся со строчной буквы, напр.: президент, канцлер, председатель, министр, премьер-министр, заместитель министра, мэр, император, королева, хан, шейх, генеральный секретарь, заслуженный деятель культуры, лауреат Нобелевской премии, посол, атташе, директор, генеральный директор, академик, доктор наук, профессор, член-корреспондент, генерал-майор, командующий войсками, руководитель департамента, заведующий отделом, управляющий делами. В официальных текстах названия высших государственных должностей и титулов пишутся с прописной буквы, напр.: Президент Российской Федерации, Председатель Правительства РФ.

Правило процитировано из справочника "Правила русской орфографии и пунктуации" под ред. В. В. Лопатина.