Название района: Нагатинский Затон.
Это разговорный оборот (см. последнее значение в статье толкового словаря), он допустим в непринужденной речи.
Если имеется в виду стадион "Геолог", то предлог на использован верно (ср.: На стадион приедет команда из Курска).
Правильно: район Нагатинский Затон. Но: Нагатинский затон – о самом затоне.
Сочетание в районе употребляется в разговорной речи в значении 'приблизительно', но такое употребление допустимо, только если речь идет о времени (приду в районе восьми). Сочетания в районе 20 метров, в районе 100 рублей и пр. нельзя назвать грамотными.
Склоняемый вариант корректен.
Использовать кавычки не обязательно, если их отсутствие не будет мешать пониманию смысла текста.
Возможно грамматическое согласование в мужском и женском роде.
Корректно с прописной: Машгородок.