Прописная буква не требуется. Верно: по-пушкински, по-стахановски.
Верно: Я не признаю ни одной из названных ошибок.
Выбор варианта зависит от того, как построено предложение. Слово сектор пишется с маленькой буквы.
В разговорной речи слышу запах допустимо. Общеупотребительно и стилистически нейтрально: чувствую запах.
В русском литературном языке в значении 'передняя часть ступни; передний конец обуви, чулка и т. п.' употребляется слово носок (не мысок). Правильно: привстал на носки сапог.
Слово продажа используется в форме множественного числа в профессиональной речи. Общеупотребительный вариант: открылась продажа билетов.
Правильно: над «Архипелагом ГУЛАГом». См. издание, подготовленное Н. Д. Солженицыной.
Слово урок не требуется, верно: Я проведу для вас ликбез.
Это неудачный оборот.
Слово форд склоняется. См. словарную фиксацию. О написании марок автомобилей см. «Письмовник».