Если речь о ванной комнате, то правильно: коврик для ванной.
Мужские фамилии Князь и Король склоняются, женские – нет.
Да, мужская фамилия Рожок склоняется.
См. ответ на вопрос № 198630.
Пробел ставится.
Нет, слова тем самым вводными не являются и не обособляются. В очень редких случаях, когда тем самым выступает в функции союза, перед ним ставится запятая: Нагрубил женщине, тем самым поставил себя в неловкое положение.
Орфографически правильно слитное написание: жирнокислотный.
Словарной фиксации нет, произношение пока неустоявшееся. Произносят тирамису и тирамису.
Словари уже фиксируют слова с первой частью ВИП-, написанной кириллицей (см., например, «Русский орфографический словарь» РАН). Допустимо написание ВИП-ложа и VIP-ложа. Ни то, ни другое не будет ошибкой.
