Запятая нужна: К своему недовольству, он отметил, что верёвка действительно немного сползла. Вводная конструкция к своему недовольству указывает на эмоциональную оценку сообщения.

Верно: задолженность по пене. В дательном падеже слово пеня имеет окончание -е. Обратите внимание, что в значении 'штраф' это слово обычно употребляется во множественном числе, корректный вариант: задолженность по пеням.

Слово чиа пока не зафиксировано нормативными словарями современного русского языка, говорить о правильности или неправильности того или иного варианта ударения рано. При произнесении этого слова носители русского языка вправе доверять своей языковой интуиции.

Верно: ученики нечаевской школы. Слово нечаевская пишется со строчной буквы, если оно не входит в состав названия школы, а обозначает расположение учебного заведения.

Верно: Студенты получают самое ценное, что мы можем им предложить на данном этапе, — знания, практические навыки и опыт. Запятая разделяет части сложного предложения.

Использование сочетания действующая лицензия корректно, плеоназма нет. Слово действующая обращает внимание читателя, что лицензия должна быть действительна в момент предъявления.

Предлог за в этом случае может быть применен, если он употреблен в значении 'вместо', если подразумевается, что кто-то действует от имени организации.

Правильно: в мэрии города Москвы. Географическое название, употребленное с родовыми наименованиями город, село, деревня, хутор, река и др., выступающее в функции приложения, согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русского, славянского происхождения или представляет собой давно заимствованное и освоенное наименование.

Здесь требуется родительный падеж. Употребление творительного падежа будет означать, что некто намеревается оказать на кого-то режущее воздействие цепной пилой.

В «Словаре языка Пушкина» указано, что слово благородный в названном отрывке из поэмы «Полтава» употреблено в значении ‘дворянского происхождения, принадлежащий к знати’.