Прямую речь следует либо заключить в кавычки, либо написать с тире как отдельный абзац.

Обстоятельство места со двора во втором предложении не может быть отнесено к части сразу же послышался детский плач потому, что глагол послышаться не сочетается с обстоятельственными формами, отвечающими на вопрос откуда? — его сферу сочетаемости составляют лишь формы, отвечающие на вопрос где?, что отражено и в примерах в его словарной статье (с глаголом раздаться такие сочетания вполне допустимы, сравним пример Из открытого окна раздавались звуки рояля в словарной статье). При замене некоторых слов и форм это препятствие исчезает, сравним: Со двора раздались громкие встревоженные голоса и сразу же донесся детский плач; Во дворе раздались громкие встревоженные голоса и сразу же послышался детский плач. 

Кроме того, нельзя не отметить, что в первом из приведенных предложений глаголы-сказуемые относятся к несовершенному виду, а это указывает на одновременность обозначаемых ими ситуаций; во втором же предложении глаголы совершенного вида, что указывает на последовательность ситуаций, причинно-следственный характер отношений между ними, и это дает возможность воспринимать обстоятельство в начале предложения как относящееся только к первой части даже при замене некоторых слов и форм.

Ни в одном справочнике нам не удалось найти оснований для того, чтобы не ставить запятую.

В справочнике Розенталя указано, что усилительные частицы не отделяются запятой от вводных слов. Но так в данном случае не усилительная частица. Здесь она имеет значение 'следовательно, значит, стало быть'. Кроме того, вводное слово в Вашем примере легко переставить или изъять.

Такое употребление сложилось в строгой деловой речи, т. к. в официальной документации на первое место обычно выдвигается информация о должности (безотносительно к полу лица).

В этом случае лучше использовать форму единственного числа: единовременно на смене находится более 1000 медицинских бригад.

Тире обычно не ставится, если подлежащее выражено личным местоимением, а сказуемое – им. п. существительного. Тире в этом случае ставится при противопоставлении или при логическом подчеркивании сказуемого: Ты – старый ребенок, теоретик, а я – молодой старик и практик (Чехов); Я – фабрикант, ты – судовладелец... (Горький).

Это не географическое название, а название сооружения, поэтому кавычки нужны: трасса «Лагуна Сека».

Правильно: «Торпедо-БелАЗ», «Звезда-БГУ». 

Возможны оба варианта.