При прямом порядке главных членов предложения (сказуемое следует за однородными подлежащими) обычно употребляется форма множественного числа сказуемого, при обратном порядке (сказуемое предшествует подлежащим) – форма единственного числа, однако это не строгая рекомендация. Кроме того, есть ряд нюансов, о которых рекомендуем почитать в «Справочнике по правописанию и стилистике» Д. Э. Розенталя (раздел «Стилистика», параграф «Согласование сказуемого с однородными подлежащими».

В указанном примере предпочтительно: В мои обязанности входила организация ремонтов в цехах плоского проката и управление подрядными организациями.

Эта ситуация не регламентирована. Руководствуясь правилом о возможной постановке тире после придаточной части перед главной, можно считать, что тире в данном случае выполняет двойную задачу — закрывает ряд однородных членов и отделяет главную часть от придаточной. Однако, полагаем, что возможна постановка запятой (как знака границы частей) и тире.

Вы верно заметили: в этом предложении союз но не связывает однородные члены либо части ССП. Здесь он образует так называемую конструкцию с вторичной союзной связью. В справочниках по пунктуации такие конструкции отнесены к присоединительным. 

Вы правы, сравнительный оборот в этом предложении входит в состав сказуемого и не должен выделяться запятыми.

Предложения такой структуры, как Ваше, в правилах пунктуации не описаны. Полагаем, что запятая не нужна, как и в случаях, когда в качестве однородных членов выступают наречие и деепричастие (или деепричастный оборот), ср.: К дверям кабинета все подходили обыкновенно перешёптываясь и на цыпочках; Тот ему отвечал не смущаясь и откровенно. 

Запятая перед чтобы поставлена правильно. Она отделяет придаточное предложение.

С точки зрения стилистики следует избегать таких повторов и перестроить текст.

Запятая в предложении Сегодня погода как передавали в прогнозе не нужна (но: Сегодня погода такая, как передавали в прогнозе). Дело в том, что в первом варианте предложения оборот как передавали в прогнозе является сказуемым. 

Корректно: более тяжелый, менее тяжелый, более холодный, худший, больной, меньший.

См. также 250475

Запятая не нужна, т. к. это не сложное предложение, а простое с однородными сказуемыми. Подлежащее в нем отсутствует, но очевидно, что имеется в виду один человек, который и прочитал, и был расстроен.