1. Лучше: наградить почетными грамотами следующих студентов... (если имеется в виду, что каждому студенту будет вручена грамота).

2. Да, конечно, такую фамилию также нужно склонять.

В качестве неофициального может быть использовано название храм Взыскания Погибших. А вот прилагательное Взысканческая образовывать не следует.

Запятые расставлены правильно. Выделение кавычками не требуется; если необходимо подчеркнуть, что слово компонент употреблено в специальном терминологическом значении, то можно использовать шрифтовое выделение (курсив, разрядку).

Оптимальное написание: буква А, буква Я. Вместо прописной буквы можно использовать выделение курсивом или полужирным шрифтом, а также кавычками.

Возможно, имеется в виду англ. look - взгляд?

В Ваших примерах верно: поживиться, нажиться. Глагол "наживиться" в этом значении не употребляется.

НАЖИ́ВА, -ы, ж. Разг.

1. Действие по глаг. нажить—наживать (в 1 знач.). Им [богатым крестьянам] хлеб не только для прокормления служит, а больше всего — для продажи, для наживы денег. Ленин, К деревенской бедноте.

2. Приобретательство, нетрудовое обогащение. — Вся жизнь у него в деньгах и в наживе. Чехов, Степь. При капиталистическом строе торговля имеет целью наживу, обогащение, увеличение торгового капитала. Дзержинский, Проблемы советской торговли.

НАЖИ́ВА, -ы, ж. То же, что наживка. Самый удачный лов бывает на ранней заре, когда голодна рыба, когда она жадно бросается на наживу, но не видит предательских крючков и лес. Сергеев-Ценский, Флот и крепость.

ПОЖИ́ВА, -ы, ж. Разг. То, чем можно поживиться, добыча, нажива. Еще подъезжая к деревне Плюшкина, он уже предчувствовал, что будет кое-какая пожива, но такой прибыточной никак не ожидал. Гоголь, Мертвые души. Вытянув шеи, грифы глядели в нашу сторону, ждали поживы. Песков, Шаги по росе.

Здесь нет стилистической погрешности.

Предложение следует начать с прописной (большой) буквы. Если Вас смущает, что сокращение пишется с прописной буквы, то предложение можно просто перестроить - начать его другими словами.

Имя, отчество и фамилию директора можно выделить с двух сторон либо запятыми, либо двумя тире. Сочетание запятой и тире неудачно.

Можно сказать: ученики (учащиеся) школы такой-то.