Кавычки в данном случае нужны, так как в состав названия входит слово, написанное буквами русского алфавита.
Корректно: Прикаспийские государства.
Лучше: при заказе на сайте.
Верно дефисное написание.
Запятая не ставится.
Правильно в официальной речи: новый губернатор. В разговорной речи - новая губернатор.
Оба варианта возможны.
Русское словесное ударение
Словарь имён собственных
Барабинская низменность (Новосибирск. обл., РФ)
Орфографический словарь
барабинский (от Бараба и Барабинск)
барабинцы, -ев, ед. -нец, -нца, тв. -нцем
Предпочтительнее форма множественного числа.
См. словарную фиксацию.