Используется форма ед. ч.: в политике России и США.
Запятая ставится: она отделяет придаточное предложение.
Форма управления «доказать о том» является устаревшей, оценивается как просторечная и не соответствует современным нормам русского языка. Хотя на протяжении XIХ — первой трети ХХ века она была распространена: Признаюсь, у меня было сильное желание, чтобы кто-нибудь из сыновей был легко ранен; это бы вернуло его к нам и заодно доказало о добросовестной службе в строю [К. К. Романов. Дневники. Воспоминания. Стихи. Письма (1914)].
Предложное управление для этого относительно нового слова нельзя назвать устоявшимся. Тренд к — по аналогии с тенденция к, тренд на — по аналогии с мода на. Однако в практике письма явно преобладает сочетание тренд на: Отсюда заметный в последнее время тренд на профанацию качества в среднем сегменте и депрессивные настроения среди части бизнесменов [Вера Краснова, Анастасия Матвеева. Свадьба дела с идеалом // «Эксперт», 2009]; Хочу заметить, что еще пару лет назад намечался тренд на поддержку современной культуры... [Ирина Прохорова, Андрей Архангельский. «Необязательно гордиться душегубами» // «Огонек», 2014] и т. д.
Ваш вопрос по своей сути социологический, культурно-исторический, этический, но не лингвистический.
Если речь идет о технической стороне создания письменного текста, то можно допускать, что в некоторых контекстах незначимы различия процесса печатания и процесса набора текста с помощью новейших устройств, а соответственно, глаголы печатать и набирать предстают как взаимозаменяемые. В других случаях тонкости технического процесса, например связанные с размером клавиатуры, типом устройства, особенностями самого текста, могут предопределять выбор конкретного, «правильного» глагола.
В этом случае слово правда выступает в роли наречия, синонимичного наречию действительно, и не обособляется.
Согласно действующим ныне орфографическим правилам после начальных частей сложносокращенных слов разделительный ъ по традиции не пишется, напр.: военюрист, госязык, детясли, партячейка, продярмарка, спецеда, хозединица, иняз, Инюрколлегия, Минюст.
При этом написания типа детясли, иняз, Минюст противоречат одному из основных принципов русского письма — слоговому, в соответствии с которым буквы я, ю, е, ё в позиции после согласных букв (в пределах слитно пишущегося слова) не обозначают «йотированных» гласных и при этом служат обозначению мягкости предшествующего парного по этому признаку согласного. Таким образом, принятые сейчас написания неточно передают звуковой состав слов: в них не хватает сигнала прочтения е, ё, ю, я как сочетаний «йота» с гласными. При этом они могут порождать затруднения в чтении и опознавании слов, вызываемые опирающимися на слоговой принцип навыками чтения, а иногда и переносами типа Ми-нюст, гося-зык.
Поэтому проект корректировки правил русской орфографии, разработанный учеными на рубеже прошлого и нынешнего веков, включал и такое предложение: "распространить написания с ъ на сложносокращенные слова; писать: военъюрист, госъязык, детъясли, инъяз, метъявления, партъячейка, продъярмарка, спецъеда, спецъемкостъ, хозъединица, Инъюрколлегия, Минъюст".
Однако этот проект утвержден не был.
Поскольку само сочетание аппарат полномочного представителя... имеет официальный характер, написание слова президент с прописной буквы не будет в данном случае противоречить норме.
В приведенных предложениях нет обращений, обособление ошибочно. Местоимения вас и вам здесь являются членами предложения и выполняют роль дополнения. Обращения, то есть слова и сочетания, называющие адресата речи, имеют форму именительного падежа. Личные местоимения ты и вы обычно не выступают в роли обращений: они выполняют функцию подлежащего (Вы, мой друг, можете подождать здесь). В редких случаях эти местоимения могут выполнять функцию обращения, например при самостоятельном употреблении, особенно с междометиями (эй, ты!) или при наличии определительных конструкций — обособленных определений или определительных придаточных частей предложения (Вы, в шляпе, пройдите дальше!).
