Форма прополощите — нейтральная, прополоскайте — разговорная. См.: https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/slovar-trudnostey/dvigatsya-dvigaetsya-i-dvizhetsya. 

В современном языке существительное ошибка образуется от глагола ошибиться с помощью суффикса -к-, словообразование сопровождается усечением производящей глагольной основы (ошиби-ться → ошиб-к-а;  ср.: загороди-ться → загород-к-а и др.). Образованные таким образом существительные по значению характеризуются действием, названным производящим глаголом.

Производящее слово ошбиться ('допустить ошибку, поступить, оценить кого-, что-либо неправильно') в современном языке является непроизводным, приставка о- не выделяется, в словах ошибиться и ошибка корень ошиб-. 

Исторически глагол ошибиться был связан с глаголом шибать ('бить, ударять), который до сих пор остается производным для глаголов ушибить, зашибить и др. с корнем -шиб- и разнообразными приставками. Существительное ушиб образовано от глагола ушибать, в нем тоже выделяется корень -шиб- и приставка у-

Ответ на вопрос № 228148 мы давали, когда еще не было словарной фиксации и приходилось опираться только на письменную практику. Теперь, когда слово кодифицировано академическим орфографическим словарем, нужно, конечно, писать в соответствии с фиксацией в нем: файрвол.

Корректно написание файрвол.  

Следует склонять: ...в чине статского советника.

Как ни странно, прилагательное близкий - непроизводное (исходное), поэтому к- - это часть корня. Существительное близь ("то, что близко") - производное, образовано от прилагательного с усечением основы. С прочими приведенными Вами примерами такая же ситуация.

1. Корректно без запятых (предложение разговорного характера, без явного членения на главную и придаточную части).

2. Запятая между частями сложного предложения нужна.

Это слово фиксируется словарями как вариант слова шербет.

А вопрос в чем?

Вася помнит, что завтра экзамен, и готовится к нему.