Предлог со фонетически закономерен перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласная] или с согласной [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами. Поэтому: со зверем, но с зайцем.

Также предлог со употребляется перед формами с начальными сочетаниями [л, ль, р, м] + согласная: со лба, со мной, со льдом, со ртом; также перед сочетаниями [в] + согласная: со вторника, со всеми, со второго.

Корректно: со вступившим.

Сочетания с разными предлогами могут употребляться в разных значениях. Поскольку Китай-город — это название не только исторического района Москвы, но и станции Московского метрополитена (а с названиями станций употребляется предлог на), сочетание на Китай-городе вполне объяснимо. Значение здесь: на станции «Китай-город», на территории, прилегающей к этой станции метро. Ср., например: давай где-нибудь на Китай-городе встретимся и посидим (= где-то в районе станции метро и рядом) и в Китай-городе сохранилось несколько монастырей (= внутри исторического района; предлог в связан с представлением о замкнутом пространстве).

Принято считать, что предлог до (такой-то даты) используют, если не включают дату во временной промежуток, а предлог по используют, если хотят подчеркнуть, что дата включается в указанный период. Но ни в одном словаре такое различие между предлогами до и по не проводится, ни один справочник это мнение не подтверждает. Таким образом, оба варианта – акция до 15 числа и акция по 15 число – точно не указывают, включается ли 15 число в данный период. Лучше оговорить это отдельно, например: с 1 до 15 декабря включительно или с 1 по 15 декабря включительно.

Верно: взять по одному (д.п.) или по пять (в.п.).

Большой толковый словарь

Ваше предложение представляет собой очень интересный случай. Любое из выбранных написаний может вызвать недоумение читателя. Фраза В заключение доклада автор допустил ошибку формально правильна, однако есть один нюанс. Предлог в заключение помимо значения 'в конце' может иметь целевой оттенок ('в конце, чтобы закончить, завершить'). Если предполагать такой оттенок значения, то фраза становится нелогичной. Написание В заключении доклада... возможно, если подразумевается заключительная часть доклада. Но обычно в таком сочетании используется предлог в заключение. Чтобы избежать недопонимания, лучше заменить проблемное сочетание на такое, которое будет восприниматься однозначно: в заключительной части доклада или в конце доклада, завершая доклад.

Предлог со фонетически закономерен перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласная] или с согласной [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами. Также со употребляется перед формами с начальными сочетаниями [л, ль, р, м] + согласная: со лба, со мной, со льдом, со ртом; также перед сочетаниями [в] + согласная: со вторника, со всеми, со второго.

Предлог ко употребляется перед дат. падежом существительных лен, лед, лев, лоб, ложь, мох, ров, рожь, рот, перед форой местоимения мне, перед дат. падежом слов весь, всякий, всяческий, вторник, второй, многое. Наряду с к употребляется перед формами слов вчерашний, шов.

Да, есть рекомендация использовать предлог со перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласный] или с согласного [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами. Она приведена в «Кратком словаре трудностей русского языка» Н. А. Еськовой, ее можно найти в «Письмовнике» на нашем портале. Здесь важно, перед каким словом используется предлог, а не к какому слову относится, поэтому приведенная рекомендация дает основания выбрать вариант со сжатыми кулаками. 

Впрочем, в письменной речи встречаются оба варианта, при этом вариант со сжатыми кулаками частотнее. В «Национальном корпусе русского языка» можно найти 31 пример использования варианта с сжатыми кулаками. Вариант со сжатыми кулаками встречается в корпусе 69 раз.

План разбора

I. Часть речи. Общее значение.

II. Морфологические признаки.

1. Начальная форма (имен. падеж ед. числа муж. рода).

2. Постоянные признаки: разряд (качественное, относительное, притяжательное).

3. Непостоянные признаки: 1) у качественных: а) степень сравнения, б) краткая или полная форма; 2) у всех прилагательных: а) падеж, б) число, в) род (в ед. ч.).

III. Синтаксическая роль.

Образец разбора.

Под ним струя светлей лазури, над ним луч солнца золотой…

Светлей (струя) – им. прилаг., обозначает признак предмета, струя (какова?) светлей; н. ф. – светлый,  качеств., в сравнит. степ. ср.; сказуемое.

Золотой (луч) – им. прилаг., обозначает признак предмета, луч (какой?) золотой; н. ф. – золотой, качеств., в полн. ф., в им..п., ед. ч., муж. р.; определение.

Правильно: трется о ноги хозяина. И допустимо:  об ноги хозяина.

Предлог О с вин. падежом произносится без ударения (с переносом ударения – о бок). Употребляется (наряду с ОБ) перед формами, начинающимися согласными (в том числе "йот"), кроме форм местоименных слов всё, всю, все, всех, что (где выступает ОБО). Требует употребления форм местоименных слов с начальным Н (о него и об него).

Предлог ОБ с вин. падежом произносится без ударения (с переносом ударения – об пол, об руку, об стену). Употребляется перед формами, начинающимися гласными; наряду с О употребляется перед формами, начинающимися согласными (в том числе согласной "йот"), кроме форм местоименных слов всё, всю, все, всех, что (где выступает ОБО). Требует употребления форм местоименных слов с начальным Н (об него и о него).

Обороты, присоединяемые предлогом «помимо», могут обособляться. Запятые обычно ставятся, если предлог «помимо» употребляется в знач. «кроме, сверх».

В конце концов мы порешили, помимо шампанского, абонировать для него кресло в театре, утроить жалованье, купить ему вороных, еженедельно отправлять его за город на тройках – всё это в счет Общества. А. Чехов, Единственное средство. Уже здесь, помимо введения термина, обозначены основные практические методы прижизненного пробуждения внутреннего мертвеца. В. Пелевин, Мардонги.

Однако допускается и невыделение запятыми оборотов с предлогом «помимо» в знач. «кроме, сверх».

Категория эта кажется нам ее собственным, а не нашим, состояньем. Помимо этого состоянья всё на свете названо. Б. Пастернак, Охранная грамота.

Если же предлог «помимо» употребляется в знач. «против, вопреки», то запятые не ставятся.

Презирая убогого маляра, я восхищался этим единственным портретом, словно родившимся помимо желания его творца. Б. Окуджава, Путешествие дилетантов.