Фамилия Гмыря должна склоняться. К сожалению, случаи, когда человек настаивает на несклонении своей фамилии, даже если это противоречит нормам русской грамматики, не редкость. Но ведь фамилия тоже является словом, и слово это должно подчиняться законам языка (а не прихоти носителя фамилии). Что делать в Вашей ситуации? Возможно, спросить у выпускницы и родителей, хотят ли они, чтобы в аттестате (получение которого – важное событие в жизни человека) навсегда осталась грамматическая ошибка.

При прямом порядке слов (сказуемое следует за однородными подлежащими) обычно употребляется форма множественного числа сказуемого, при обратном порядке (сказуемое предшествует подлежащим, как в данном случае) – форма единственного числа. Впрочем, как отмечается в параграфе 190 «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой, эти положения «не носят категорического характера», поэтому множественное число сказуемого также не ошибка.

«Никогда не склоняли» означает всего лишь, что в семье на протяжении многих лет повторялась грамматическая ошибка (увы, правила склонения фамилий неизвестны многим носителям языка, фамилию не склоняли исключительно из-за незнания правил). Фамилия – это слово, а слова подчиняются грамматическим законам языка. Склонение мужской фамилии Романчук обязательно; настаивать на том, чтобы учитель ее не склонял, – всё равно что настаивать на том, чтобы он говорил «живу в Москва», «работаю в школа».

Окончание -и во втором варианте – вероятно, ошибка или опечатка, а вопрос в том, склонять ли название при склонении родового слова улица? Названия улиц в сочетании с родовым словом улица обычно склоняются, если название – женского рода: на улице Волхонке, на улице Таганской, на улице Большой Лубянке (впрочем, в официальных документах, в канцелярской речи распространено несклонение). Названия улиц мужского рода обычно не склоняются: на улице Балчуг, по улице Кузнецкий Мост.

В неофициальных текстах, в том числе в научных статьях, слово президент как название должности принято писать со строчной буквы, однако в последнее время, особенно в текстах юридической направленности, очевидна тенденция к использованию в сочетании Президент Российской Федерации прописной буквы. Это не ошибка, но лучше все-таки использовать строчную букву, особенно если в тексте упоминаются другие президенты. 

Слово указ в неофициальных текстах пишется со строчной буквы.

См. также 270300, 280191.

Ошибки нет. Наречие вперемеЖку обозначает чередование в определенном порядке, вперемеШку - смешанный состав, отсутствие закономерностей в чередовании.

Это не ошибка. Если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы. Ср. с примером из справочника Д. Э. Розенталя «Современный русский язык. Пунктуация» (М., 2002):

— Скорей, загорелась школа! — И он побежал по домам будить людей.

Слова автора названы здесь отдельным предложением, т. к. в них нет глагола речи (сказал, закричал, воскликнул и т. д.). Правда, встречается такое оформление нечасто, поэтому многие справочники об этом правиле не вспоминают.

В предложении 4, бесспорно, допущена ошибка, так как действие, обозначаемое деепричастием (деепричастным оборотом) должно относиться к подлежащему данного предложения. Ср. деепричастный оборот в других предложениях: 

1) Заблудившись в лесу, мы возвратились домой поздно. (Деепричастный оборот обычно предшествует сказуемому, если обозначает причину другого действия.)

2) Выйдя из-за облаков, луна осветила все вокруг. Деепричастный оборот обычно предшествует сказуемому, если обозначает предшествующее действие.

В предложениях 3) и 5) приаточные предложения следует заменить не деепричастным, а причастным оборотом:

3) Рожь, золотящаяся на солнце, была похожа на безбрежное море.

5) Уже распустившиеся ландыши издавали тонкий, нежный аромат весны.