Условное название стиля нужно писать в кавычках и с прописной буквы: Так что, если вам близок стиль «Общение и поддержка», советуем самостоятельно начать строить такое учебное комьюнити.

Да, Вы правы, корректно: Гомогенная жидкость — жидкость, состоящая из одного или нескольких компонентов, не имеющих границ раздела между собой.

Существительные мужского рода часто употребляются для обозначения женщин (ср. специалист, любитель, ценитель, энтузиаст, завсегдатай и т. д.). Ограничений на подобное использование слова фанат нет.

Запятая в предложении не нужна, внутри вставного предложения можно поставить тире, так как оно неполное: Игорь Иванович (далее — доктор) осмотрел больного.

Верно, сочетание роботы — мойщики окон пишется через тире, потому что приложение неоднословное.

Обобщающим в данном случае могло бы быть слово семья (Ребенок любит отца и мать, брата и сестру — свою семью). Существительное дом имеет в том числе и значение 'семья, люди, живущие вместе, одним хозяйством', однако употребление его в этом значении ограничено немногочисленными сочетаниями типа дружить домами. Вне подобных сочетаний слово дом употребляется в значении 'семья' только по отношению к царствующей династии (дом Романовых).

Верно: Не только Пушкин, но и Булгаков убежден, что...

Сочетания муниципальное образование и городской округ должны быть согласованы в падеже (иными словами, употребляться в одном и том же падеже), поскольку городской округ с точки зрения синтаксиса – это приложение. Ср.: птица иволга.  

Что касается кавычек и других знаков. Здесь возможны следующие варианты оформления:

• муниципальное образование – городской округ Усинск;
• муниципальное образование «Городской округ Усинск».

Причем при использовании кавычек заключенная в них часть названия не будет склоняться: администрация муниципального образования «Городской округ Усинск».

Это не ошибка, потому что выбор рисунка кавычек – это не вопрос правописания. В правилах пунктуации оговаривается только, что необходимо использовать кавычки разного рисунка для оформления цитаты (прямой речи) и включенных в нее закавыченных слов. Вот правило Д. Э. Розенталя:

Если в начале или в конце текста (прямой речи, цитаты) встречаются внутренние и внешние кавычки, то они должны отличаться рисунком («ёлочки» и «лапки»): Автор статьи указывает, что «в золотой фонд мировой литературы вошли такие произведения русской классики, как „Война и мир“».

Если между внутренними и внешними кавычками стоит вопросительный или восклицательный знак, то могут использоваться кавычки одного рисунка: Выдающимся публицистическим произведением А. М. Горького является статья «С кем вы, «мастера культуры»?».

Такого глагола нет.