Варианты корректны, но различаются оттенками значения (много - наречие; многое - субстантив).
Лучше поставить двоеточие: Встречайте: компания N. Но можно написать и с тире.
Грамматически форма множественного числа у слова мифология есть, но используется она редко.
Возможны оба варианта, но некоторые их значения различаются. Подробнее см. в словарях.
Это выражение - плеоназм, но при этом его использование в речи корректно.
Оба варианта верны, но значение глаголов немного различается. Подробнее см. в словарях.
Верно: у директора. Второй вариант в принципе возможен, но имеет другое значение.
Грамматически верно: диогеновой, но этот оборот обычно употребляется в форме бочка Диогена.
Запятые стоят верно, но здесь довольно странно чередуются обстоятельства места и времени.
Форма мн. ч. употребляется, но в приведенном примере используется форма ед. ч.
