При передаче на письме разговорной речи, в текстах разговорного стиля это слово не нужно заключать в кавычки. Что касается более строгих жанров, то здесь решать автору текста.

Возможны оба варианта, но в текстах официально-делового стиля следует употреблять подобные сочетания только с количественными числительными, например в объявлении: В магазин требуются три менеджера (не трое менеджеров).

Указанные Вами вопросы про разные ситуации. Возможно: в 1990-х гг. (= в 1990-х годах) или в 1990-е гг. (= в 1990-е годы). От стиля речи выбор варианта не зависит. 

В конструкции стиль ампир слово ампир является несклоняемым прилагательным, а в конструкциях типа в стиле французского ампира, поклонник ампира и т. п. — склоняемым существительным мужского рода.

Словарями такое слово не зафиксировано, однако в художественных текстах изредка встречается прилагательное гаргантюанский: Он всю жизнь ощущал в себе что-то гаргантюанское [Василий Аксенов. Новый сладостный стиль (1997)]. 

Тире обычно не ставится в простых по составу предложениях разговорного стиля речи. В «Справочнике по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя приведен аналогичный пример: Моя сестра спортсменка.

Тире обычно не ставится в простых по составу предложениях разговорного стиля речи. В «Справочнике по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя приведен аналогичный пример: Моя сестра спортсменка.

Можно сказать, что запятая после слова бабушка выполняет 2 функции: закрывает обращение и используется для оформления прямой речи. Но лучше было выбрать для задания не столь спорный пример.

Использование мужского рода характерно для строгого стиля письменной речи, деловых документов, публицистики, научной прозе. В функции приложения, в составе именного сказуемого используется также мужской род: она была летчиком-испытателем.

Примите во внимание более широкий контекст и уточните значение слова проблема в высказывании. Возможно, обнаружится лексическая неточность. Пока же в столь лаконичном фрагменте мы речевых недочетов не увидели.